看到現在高中物理有教測量不確定度之類的主題
但是有些公式看了不知為何那樣
查了網路教學 都是直接給公式整理和解題
不知道是高中都那樣教 還是打算在付費課程教詳細原理
後來找到林秀豪教授的影片 有稍微解釋來源
例如某個公式中需除以2√3 是因為考慮uniform distribution算出的
不過乘積和商的不確定度公式怎麼來 似乎沒找到解釋
但既然知道是從隨機變數而來 就可以算算看
如果X,Y彼此獨立 E[XY]=E[X]E[Y]≡uv
E[(XY-uv)^2]=E {[X(Y-v)+v(X-u)]^2}= (v^2)Var(X)+(u^2)Var(Y)+Var(X)Var(Y)
而高中教的公式是(v^2)Var(X)+(u^2)Var(Y)
很可能假設了變異數很小 Var(X)Var(Y)就忽略掉
所以另一種推導法是 XY-uv=[u+(X-u)][v+(Y-v)]-uv ≒u(Y-v)+v(X-u)
至於X/Y相關的期望值 應該沒有確定公式 必須依賴機率分佈實際算
所以很可能也是假設了變異數很小 機率都集中在平均值附近
E[f(Y)]≒E[f(v)+f’(v)(Y-v)+…] → E[1/Y]≒1/v, Var[1/Y]≒(1/v^4)Var[Y]
代入乘積不確定度公式Var[X(1/Y)]=[E(1/Y)^2]Var(X)+(u^2)Var(1/Y)可得高中教的
或者一般性的有E[f(X,Y)]≒f(u,v)+(1/2) [fxxVar(X)+2fxyCov(X,Y)+fyyVar(Y)]
Var[f(X,Y)]≒[(fx)^2]Var(X)+2fxfyCov(X,Y)+[(fy)^2]Var(Y)