各位大大好
小弟我想請問一下
在課本討論steady state error的單元中
在analysis via input substitution的部分
只有推導出step input跟ramp input的Xss與e(無限大)的公式
可是沒有parabolic input的部分
在跟幾個同學討論的過程中出現兩種想法
一是Xss在n=1時=0.5t**2+Wt+const.
e(無限大)=lim(t**2-Yss) ※t趨近無限大
二是Xss在n=1時=0.5(t**2+Wt+const.)
e(無限大)=lim(t**2-Yss) ※t趨近無限大
請問哪個才是正確的
如果都錯也希望能得到正確的答案與相對應的e(無限大)的公式
謝謝各位大大！

e(無限)又稱static state error我會用頻域來考慮而不是時域一個系統的transfer function 可以分成type0 type1 等等...而區分這些type的方式是用有多少"單獨的s"在分母若 open loop system 的 transfer funtion 為 G(s)Then transfer function for closed loop system will beoutput/ input = Y(s)/X(s) = G(s)/(1+G(s))而error E(s) = input X(s)-Y(s) = X(s) * 1/(1+G(s))而steady state error 被定義為 e(t->無限)而微積分的final-value theorem 又告訴我們lim{e(t)}(t無限)= lim{E(s)}(s趨近0)，所以steady state error (ess) =lim{e(t)}(t->無限) = lim{sE(s)}(s->0)= lim{sX(s)/(1+G)}如果今天X(s)是unit step input, 就可以將X(s)換成 1/s換掉在進行約分以後 ess = lim{1/(1+G(s))}(s->0)接著G(s) 是什麼type 的系統就很重要了如果是type0,因為分母沒有s，G(0)就會是一個常數依照前面的式子ess= lim{1/(1+G(0))} 你的ess也就會是個常數如果是type1，分母有單獨的s，那G(0)就會趨近無限大ess= lim{1/(1+G(s))}就會變無窮小。type2,3..以上皆如此當你的input X(s)是ramp input，X(s)=1/s^2我們的steady state error = lim{1/s^2 * s/(1+G(s))} =lim{1/( s + sG(s) )} = lim{1/sG(s)} (s->0)你會發現分母是sG(s)，多出來的s會讓ess趨近於無限大當s->0如果G(s)是type0系統，那在G旁邊的s肯定消不掉 ess會->無限若G(s)是type1系統則可以用G自己分母的s與之相消而得到常數type2以上的系統則會留下一個1/s在 ess 的分母 讓ess->0接下來就是你所問沒有什麼被探討的二次parabolic input我們直接查laplace表，可以得知二次時域方程在頻域為1/s^3代入ess = X(s) * 1/(1+G(s)), ess = 1/(1+G(s)) * 1/s^2= 1/(s^2 + s^2G(s)) = 1/(s^2 * G(s)){s->0}跟之前的流程相同，因為分母有s^2，G(s)至少必須為type2系統才能讓error為常數，type3以上系統才能讓error趨近零上面Final-value theorem(FVM)打錯，應為lim{e(t)](t->無限)=lim{"s"E(s)}(s->0)

太強了板上的高手

神人

簡單說系統不穩定就沒有穩態誤差