課程名稱︰財務工程
課程性質︰選修
課程教師︰黃以達
開課學院：社會科學院
開課系所︰經濟系所
考試日期（年月日）︰2014年6月13日
考試時限（分鐘）：14:20~18:20 左右
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
I. 測驗是否會操作布雷克休斯公式 (10%)
一、 (5%)
You are given the folowing information on a European option:
(i) The spot exchange is 1.5 $/￡.
(ii) The strike price is 1.45 $/￡.
(iii) The continuously compounded risk-free rate in the US is 8% per annum.
(iv) The continuouly compounded risk-free rate in the UK is 10% per annum.
(v) σ = 0.15
(vi) The Black-Scholes framework holds.
Calculate the value of a one-yera European call option on the British
pound. (Hint: 0.__0_)
二、 (5%)
A stock has quarterly dividends, paid at the end of 3 months and 6 months
from now. You are given:
(i) The stock price is 42.
(ii) Quarterly dividends are 0.75.
(iii) The volatility of a pre-paid forward on the stock is 0.3.
(iv) A 6-month European put option is written on the stock with strike
price 40.
(v) The put option, if it is exercised, is exercised on the stock
ex-dividend.
(vi) The continuously compounded risk-free rate is 4%.
Calculate the put option's premium with BS formula. (Hint: _._2)
II. 測驗是否會估計在幾何布朗運動假設下風險值 (14%)
三、 (14%)
假設某股票之股價服從對數常態分配，且已知每周股票收盤價計算後如下:
15 15
Σ [ln (S / S )] = 0.02469 ； Σ [ln (S / S )] = 0.13985
t=1 t t-1 t=1 t t-1
(1)(6%) 年化的對數報酬率的期望值μ、波動度σ以及連續複利下的股價期望報酬率
α。記為μ hat、σ hat 以及α hat。(皆算到小數點第六位後四捨五入！)
(2)(4%) 乘上題，請以災難水準為 q ，求出三個月股價條件期望值，即求出
0.01
0.01-level Conditional Asset Value。(設今日股價為 60。)
(3)(4%) 乘上題，請求出 0.01-Conditional VaR。
(請用百分率表示，算到小數點第二位後四捨五入！)
III. 測驗是否知悉平賭過程的定義以及會做簡易的檢驗 (10%)
四、 (10%)
假設 F 為定義在機率空間 (Ω, F, P) 上的資訊流 (filtration)，W 為一個標準布朗
t t
運動且可由 F 所觀測到，請回答下列問題:
t
(1)(2%) 請寫出平賭過程 (Martingale) 的定義。 (滿足哪三項條件？)
3
(2)(3%) 請證明 G = 3(W ) - 3tW 為一個平賭過程。
t t t
(Hint: 可直接利用 E|W |^n < (無限的符號) 對於 n 屬於 N 的事實。)
t
2
-(σ /2)t + σW 2 2 C
(3)(5%) 設 T > t，M = e t，已知 E(M |F ) = M x e ，請求出
t T t t
常數 C。
IV. 測驗對於廣義的一期模型定價的理解程度 (18%)
五、 (5%)
N
在一期模型中，假設有兩個資產，其現貨價格向量 S ，D 為一個 2x3 的 payoff
0
T
matrix，且存在一個狀態價格向量Ψ = (Ψ , Ψ , Ψ ) ，請回答下列問題:
1 2 3
(1)(1%) 何謂 attainable contigent claim？
(2)(2%) 此市場有可能是 Complete Market？理由是甚麼？
T
(3)(2%) 請證明若 C is attainable，則 C 的現在公平價格必須為Ψ C。
六、 (5%)
N T (矩陣的意思)
承上題，設 S = (0.5, 0.5) ，D = [ 1 0 1 ] ，請回答下列問題：
0 [ 0 1 0 ]
T
(1)(1%) C = (C , C , C ) is attainable，C 所滿足的限制式為何？
1 2 3
T T
(2)(2%) 請利用此題數據，證明若 C = (C , C , C ) is attainable，則 Ψ C
1 2 3
is independent of Ψ。
(3)(2%) 請利用此題數據，證明所有 Arrow-Debreu security 都無法被複製。
七、 (8%)
N
在一期模型中，其現貨價格向量為 S ，D 為一個 3x3 的 payoff matrix，且唯一
0
T
存在一個狀態價格向量 Ψ = (Ψ , Ψ , Ψ ) ，請回答下列問題:
1 2 3
(1)(2%) 請陳述資本資產定價第二定理。
(2)(3%) 設 p = Ψ / Ψ ，其中 Ψ 為無風險投資組合的建構成本。請證明
j j 0 0
{p , p , p } 滿足風險中例機率測度。
1 2 3
N T [ 1 1 1 ]
(3)(3%) 承上題，設 S = (1, 5, 3) ， D = [ 3 4 8 ] ，請求出此市場的風險
0 [ 2 3 4 ]
中立機率 {p , p , p }。
1 2 3
V. 測驗對於 Q-measure 以及 P-measure 之間的轉換關係 (16%)
八、 (6%)
假設真實世界的股價運動服從幾何布朗運動，則此股價運動可寫成
P
dS = (α-δ)S dt + σS dW
t t t t
若將其轉換成風險中立測度的話，我們可以改寫成
Q
dS = (r -δ)S dt + σS dW
t t t t
其中 α 為連續複利下的股價期望報酬率、δ 為連續股利率、r 為無風險報酬率。
Q P Q P
(1)(2%) 請求出 W 與 W 的關係式。 (Hint: 其求出 dW = ? dt + ? dW )
t t t t
Q P
(2)(2%) 請利用下面資訊，精確的算出 W 與 W 的關係式中的數值
t t
P Q
d(lnS ) = 0.12dt + 0.4dW ; dS = aS dt + σS dW ; r = 0.08, δ = 0.02
t t t t t t
(3)(2%) 請利用下面資訊，求出半年期的價平賣權的公平價格。
P
dS = 0.12S dt + 0.3S dW 、 S = 40、δ = 0.04、Sharpe ratio = 0.25
t t t t 0
(請注意此小題與第二小題的資訊無關！) (Hint: 2.__6)
九、 (10%)
假設真實世界有兩支皆無發放股利的股票，其股價分別服從幾何布朗運動如下:
P P
dS = α S dt + σ S dW ； dS = α S dt + σ S dW
1 1 1 1 1 t 2 2 2 2 2 t
(1)(3%) 觀察上式可發現，兩支股票的隨機項服從同一個布朗運動，請利用財務語言說
明這樣的假設其背後可能的想法是甚麼？
(2)(2%) 請證明此市場若是遵行無套利法則，則必須兩支股票的夏普指數須相同，即:
(α - r) / σ = (α - r) / σ
1 1 2 2
(3)(2%) 承上題，若在此市場中兩股價所服從隨機運動如下:
P P
(0.1T + 0.2W ) (0.125T + 0.3W )
S (t) = S (0)e T ； S (t) = S (0)e T
1 1 2 2
且此市場遵行無套利法則，請求無風險報酬率的大小。
(4)(3%) 假設此市場遵行無套理法則，且風險報酬率為 0.04，並已知
P P
d(lnS (t)) = 0.08dt + 0.2dW ； d(lnS (t)) = a*dt + 0.4dW
1 t 2 t
請求 a 的大小。 (請注意此小題與第三小題的資訊無關！)
VI. 測驗對於隨機微積分的簡易操作 (8%)
十、 (8%)
以下是兩個獨立的小問題
t
(1)(4%) 請計算此伊藤積分 ∫ (s + W ) dW 的變異數大小。
0 s s
t/2
(2)(4%) 請利用伊藤公式以及結合伊藤積分的性質，去證明 e * sin(W ) 為一個
t
平賭過程。(用定義證明反而會很辛苦，建議不要如此操作。)
VII. 測驗對於利率模型的操作 (10%)
十一、 (10%)
假設 r(t) 服從一個伊藤過程如下:
-0.5t -0.5t t 0.5(s-t)
r(t) = r(0)e + 0.05 (1 - e ) + 0.2∫ e dW(s)
0
t 0.5s
(1)(1%) 令 X(t) = ∫ e dW(s)，請問 dX(t) = ?
0
(2)(3%) 請問 X(t) 所服從的分配是甚麼？以及求出 E(X(t))以及 Var(X(t))。
(3)(3%) 已知 r(t) 所服從的隨機微分方程 (SDE) 為:
dr(t) = (a + br(t))dt + σdW
t
請求出 a, b 以及σ。
(Hint: 先利用伊藤引理求出 r(t) 的 SDE 再去對應係數)
(4)(3%) 請求出 Var(r(t))。
VII. 測驗利用測度轉換的技巧來操作風險中立評價法 (10%)
十二、 (10%)
假設真實世界的股價運動以及債券價格運動表示如下:
P
dS = 0.15S dt + 0.3S dW ； dB = 0.03B dt
t t t t t t
現有一種歐式型奇異選擇權的 payoff function 如下:
2 2
Φ(S ) = S - 230, if S >= 230; 0, otherwise
T T T
已知現在的股價為 15，以及連續股利率為 0.01，請回答下列問題：
Q
(1)(1%) 設W 為風險中立測度下 (Q-measure) 的標準布朗運動，請寫出股價運動
t
在 Q-measure 下的 SDE。
(2)(9%) 根據 risk-neutral pricing formula，此奇異選擇權的公平價格為:
-rT Q 2
C(0, S ) = e * E (S - 230) * I 2 )
0 T {S >= 230}
T
請求出半年期的奇異選擇權價格。 (Hint: __._9，比 35 大比 45 小)
IX. 豆知識 (20%)
關於羅伯特希勒的五個問題
A. 請問 Robert J. Shiller教授所獲得的是哪一間大學的經濟學博士學位?
B. 請為他擅長運用數學分析和何種分析相結合的方法去研究投機市場市場中的股價
波動?
C. 羅伯特教授與艾倫威斯共同創辦了 Case Shiller Weise, Inc.，請問此間公司是
一間研究何種投資標的行為的公司?
D. 希勒教授推出了一本面向大眾讀者的新書，只出在二十世紀九十年代末期，美國股
市指數大幅上漲是脫離實際經濟運行的反常現象。結果美國股市發生了巨震，2000
年 3 月初，道瓊斯指數在短短幾周內由歷史最高點記錄 11700 點下跌了近百分之
多少? (四選一 10%, 20%, 30%, 40%)
E. 希勒教授向誰匯報了他對於股市的悲觀預期，之後其便在一場演講中首次使用了「
非理性預期」一詞來表示他對當時股票市場情況的擔心，此重要人物是誰? (此人曾
經寫過「我們的新世界」一書)
關於布萊克的三個問題
F. 一本由佩里梅林 (Perry Mehrling) 撰寫的布萊克傳記，將布萊克比作性情古怪的
鋼琴家 Glenn Gould，他彈奏的 J.S Bach 的《_______變奏曲》，改變了人們對巴
赫音樂的認識。用以比喻布萊克的觀點也與當時主流相去甚遠，卻之後改變了人們
的看法。
G. 哪一位諾貝爾經濟學獎得主曾寫道:「金融一度被我當作周日的繪畫消遣」?
H. 下列對於布萊克的描述，唯一錯誤的是?
(1) 畢生致力於實務上的研究 (2) 從未得過諾貝爾獎
(3) 曾放棄了芝加哥大學的終身教職 (4) 在未過世前曾經歷過東亞金融危機
關於休斯的三個問題
I. 休斯曾參與創建一個 LTCM 的對沖基金，請問 LTCM 的全名是甚麼? (中英文皆可)
J. 請問此對沖基金總共營運了約幾年?
K. 爾後麥輪休斯又與誰創立了鉑韋資產管理公司? (此人所寫的資本理論為國內財務
博士班必修)
關於莫頓的三個問題
L. 莫頓從小就對金融市場和交易有極大的興趣，幾歲時就買了他的第一個股票?
M. 成功人士通常都有早起的習慣，在加州理工學院學習時，他早上 __ : __ 就去一個
經紀公司進行股票和場外期權的交易，之後再去學院工作?
N. 人的一生會走學術研究，即有可能是受到一兩位啟蒙老師的影響。以莫頓為例，他
是在大學時修了哪一門課，練就出他的深厚數學技巧，對於其之後推導選擇權極有
幫助?
綜合題 (莫頓、休斯、布萊克)
O. 小時候曾經視力衰退的是誰?
P. 右方是哪一位學者年輕的樣子? (無法提供圖片)
Q. 並非在二次大戰中出生的人是誰?
R. 於 1974 年發表論文《公司債的定價：利率的風險結構》是誰?
S. 父親是著名的社會學家的是誰?
T. 可以確定曾沉迷於濫性和致幻藥物的是誰?
X. 申論題 (10%)
在哲學家笛卡兒的世界裡，他經由邏輯論證推論上帝是存在的，而在猶太教、基督教以
及伊斯蘭教都有談到所謂的最終大審判日。我們這一學期主要就是從一種無套利的角度
看定價的本質，於是我們引進了 Q-measure 去評價選擇權的價格。那麼如果笛卡兒是
對的，而且真的有所謂的大審判日，請問你認為祂的評論人的時候所使用的測度會是什
麼? 而人的評價公式應該要怎麼呈現? 當你花十分鐘的時間思考這個問題之後，你會因
為預期心理而改變你之後的行為嗎?
(依照用心度、類比程度、實話程度給予分數)