課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰102.01.15
考試時限（分鐘）：480
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
Part A (20%)
1. (2%)
_____在18歲時於Moscow State University就讀。大學入學的時候，一開始讀的不是數
學，反而是對歷史頗為傾心。某一次他寫了一篇很出色的歷史學的文章，他的老師看完
，告訴他說在歷史學裡，要想證實自己的觀點需要幾個甚至幾十個正確證明才行，於是
他就問老師說什麼地方需要一個證明就行了，老師回答是數學，於是從此開始了他數學
的一生。他時常以自己強健的體魄為傲，在七十歲的時候，為了證明此點仍然在冬天冰
冷的河裡游泳。請問空格中最有可能的數學家是誰？
(1) 李亞普諾夫 (2) 馬可夫 (3) 克莫哥洛夫 (4)柴比雪夫 (5)棣美弗
2. (1%)
右方這位人物，其家族曾遭到迫害，於是1938年時只好逃離自己的家園至美國，請問他
是我們曾經介紹過的哪位數學家？
3. (2%)
請問在數學研究中，所謂的彼德堡風格，指的是什麼樣的態度？而開創這樣風格的先驅
者是哪一位數學家？
4. (2%)
請問若想在本世紀舉辦大數法則三百周年慶祝活動，應該於何年舉辦？而上次舉辦兩百
周年慶祝活動的發起人其真正動機是什麼？
5. (1%)
中央極限定理的最初版本是由哪兩位數學家所建立的？
6. (2%)
何謂政治學第一基本定理？ 何謂Stigler命名法則？
7. (2%)
數學家棣美弗曾說：「我靠做家庭教師糊口，必須給許多家庭的孩子上課，因此時間很
緊，於是就將這部巨著拆開，當我教完一家的孩子後去另一家的路上，趕緊閱讀幾頁，
不久便把這部書給學完了。」請問這本讓他愛不釋手的書籍名是什麼？而英國詩人波普
(Alexander Pope)在他的著作《人的讚禮》中，寫出了哪段話對於棣美弗的數學能力表
示敬意？
8. (2%)
音樂是支持靈魂的能量泉源。請問本學期期中考時管數所分享的歌曲的歌名為何？以及
常態分配之歌的原文歌名為何？
9. (2%)
下面是關於機率理論的五本巨著，請按照其誕生年代，由遠至近排序。
(1)《分析機率論》 (2)《序實分析》 (3)《機會的學說》
(4)《論賭博中的機會》(5)《平均數的機誤》
10. (2%)
淒美的愛情故事總是令人動容，李亞普諾夫為了她的妻子而殉情，請問他妻子的死因為何
正所謂千里姻緣一線牽，馬可夫與瓦里瓦契耶瓦雅結為伉儷，在還沒結婚前，新娘的母親
與馬可夫一家人有何淵源？
11. (2%)
在導演盧貝松所拍攝的「聖女貞德」中，其中有一幕的對白如下：黑衣人詢問貞德：「
妳怎麼知道上帝給你使命？上帝何以自己不能做信使，一定要依賴妳？」當貞德回答：
「因為風、雲、天地、鐘聲，」但又自我疑惑著，最後，她肯定答：「是劍，在草原上
的一把劍」。請問貞德之所以這樣判斷，其根據的信仰強度最有可能是哪一種？
(1)演繹法 (2)歸納法 (3)統計學 (4)歷史重演 (5)凡是沒有偶然，有的只是必然
Part BI (20%) (Linear Algebra I)
B1、2% ┌ 2 1 -3┐
A=│-3 1 4│
└-1 1 -2┘
(1)1% 求矩陣A秩的大小 (2)1% 求矩陣A的行列式值。
B2、4% ┌1 2 1 ┐
B=│0 1 2 │
└-1 2 -2 ┘
(1)2% 求B矩陣的古典伴隨矩陣 (2)2% 求B的反矩陣。
B3、4%
x+y+3z=7
x-y-z=1
y+2z=3
(1)1% 此方程組解的行為為何？ (2)3% 找出所有解。
B4、2% ┌1 -8┐
C=└0 3┘
(1)1% 請求出C矩陣的所有特徵值 (2)1% C是否為正定矩陣？
B5、4%
┌0.25 0.18 0.27┐
D=│0.18 0.16 0.03│
└0.27 0.03 0.36┘
請問D矩陣是否可能為某三維隨機向量之共變異數矩陣？請寫出你的判斷依據及理由。
B6、4%
┌16 3 4 4┐
F= │4 5 3 3│
│4 3 6 4│
└4 3 4 7┘
請對F矩陣做平方根分解。
Part B II (60%) (Linear Algebra II)
B7、3%
已知兩個三階實矩陣A與B，其滿足下列關係： AB= -BA
請問是否可以推論至少有一個矩陣的反矩陣不存在？請寫出你的判斷理由。
B8、3%
請證明實對稱且正定的矩陣，其反矩陣必定也是對稱且正定的。
B9、4%
設A為一個四階矩陣。已知A有四個特徵值分別為-3,0,2,3。根據以上的資訊，
請填入正確的數字？
1. dim(N(AA^T))=?
2. rank(A^2+A+I)=?
3. det((A-I)^-1(A+2I)^T)=?
4. tr((A+I)(A+3I))=?
B10、6%
考慮右邊這個二元二次方程式: 52x^2-72xy+73y^2-160x-130y-25=0
(1)2% 請判斷此方程式的幾何圖形。
(2)2% 請求其正焦弦長。
(3)2% 若為拋物線，請求其頂點座標；若為雙曲線或橢圓，請求中心座標。
B11、3%
┌0.6 0.9┐
設A=└0.4 0.1┘，請求 lim A^k= ?
k→∞
B12、7% 設 A= ┌1 2┐
└3 6┘
(1)3% 請將A作SVD分解。
(2)2% 請求出A的Pseudoinverse，令之為A’
(3)2% 設x∈RS(A)，y∈CS(A)，請問下列哪些式子會成立？
(a) AA'x=x (b) A'Ax=x (c) AA'y=y (d) A'Ay=y
B13、4%
已知一雙變數函數如右： f(x,y)=3x^3+y^2-9x+4y
(1)2% 求此函數所有的臨界點。
(2)2% 請判斷每個臨界點的行為，是鞍點還是何種相對極值點？
B14、4%
設A為一個n階實數方陣，我們定義兩新矩陣B與C：
B=0.5(A+A^T)； C=0.5(A-A^T)
(1)2% 請證明x^TCx=0
(2)2% 請證明A與B的正定性相同。
B15、3%
以前我們曾經證明過下面這三個事實：
1. rank(A)=rank(A^TA)
2. rank(A^T)=rank(AA^T)
3. rank(AB) min(rank(A), rank(B))
請利用這三個事實，去證明線代第一基本定理rank(A)=rank(A^T)
B16、4%
設矩陣P滿足P^T=P、P^2=P以及rank(P)=r，請回答下列問題：
(1)1% 請證明tr(P)=r
(2)3% 請證明存在一矩陣A，使得P=A(A^TA)^(-1)A^T
B17、5%
請敘述 Ida Lemma並給予證明。
B18、2%
~ ~
令X～Np(μ,Σ)，假設Σ之特徵值從大到小分別為λ1到λp。並假設qi為λi所對應之特徵
~
向量。令Yi=qi^T X ，請證明 Var(Yi)=λi。
B19、12%
已知一含截距項之線性迴歸模型如右： Y = X β + ε 。
n*1 n*(p+1) (p+1)*1 n*1
其中 X 為常數資料矩陣，並只考慮行向量線性獨立的狀況。而β 為關心
n*(p+1) (p+1)*1
iid ︿
的參數向量，並假設誤差向量為ε ～ N(0,σ^2) 。設β之最小平方估計式β ，並
n*1 LSE
︿ ︿ ︿
加以定義Y = X β 以及殘差向量e=Y - Y ，並將殘差平方和定義為SSE，而將SSE除以
n-(p+1)則定義為MSE，試回答下列問題：
︿
(1)2% 請利用向量的微分公式，求出β 。 (需驗證二階條件)
LSE
︿ ︿
(2)2% 請證明 Y 與 e 統計獨立，並圖示這三個向量 Y、Y、e的幾何關係。
(3)2% 請說明 1/σ^2 * e^Te 為何是一個合理的關鍵式？其機率分配為何？
(4)2% 請證明MSE可為一個未知參數σ^2的一致估計式。
(5)4% 在簡單線性迴歸模型中，β=(β0, β1)^T ，請推導出(β0, β1)^T 在95%信心
水準下之聯合信賴區間。請說明其聯合信賴區間的幾何圖形為何？你的理由是什麼？
Part C (50%) (Statistics)
C1、2%
設兩獨立隨機變數X與Y，其中X~N(1,σ^2)，Y~N(2,σ^2)，請問X+Y與X-Y會不會統計獨
立？若是請證明，不是請說明原因。
C2、6%
請敘述中央極限定理，並以特徵函數的方式證明之。
C3、6%
設 iid
{Xi} n 為一組隨機樣本，即 Xi ~ N(μ,σ^2)。令樣本變異數為Sn^2，定義如下：
i=1
n ─
Sn^2=1/(n-1)Σ (Xi-X)^2
i=1
(1)2% 請證明Sn^2為σ^2的一致不偏估計式。
─
(2)3% 請證明 X 與Sn^2統計獨立。
─
(3)1% 請證明( X - μ)/(σ/√n)～T(n-1)
C4、4%
設兩獨立隨機變數X與Y，其中X～Poi(2)以及Y～Poi(3)，並令Z=X+Y。
(1)3% 請求X∣Z=n 的機率質量函數
(2)1% Var(X∣Z=n)=?
C5、4%
n m iid
設{Xi}i=1 與{Yj}j=1 為兩組獨立的隨機樣本，其中Xi ～ N(μx,σx^2)
iid
Yj～ N(μy,σy^2)，其中μx與μy均未知。
(1)2% 請求出參數比值σx^2/σy^2 的一個合理關鍵式。
(2)2% 請建構出95%信心水準下，參數比值σx^2/σy^2的信賴區間。
C6、6%
iid ︿
設Xi ～ Ber(p)，並定義 p 為樣本比例數。
︿ ︿ d
(1)2% 請求 p 之極限分配，即√n(p - p)→N(a,b)，求其中常數a,b的大小。
(2)4% 若在大樣本的假設下，你會如何修改上式，進而求出p之一合理的關鍵式？而你所用
到的定理是什麼？
C7、4%
設X與Y為兩隨機變數，且各自的二階動差皆存在，請證明其相關係數∣ρxy∣≦1。
C8、6%
~ ~
設 X ～Np(μ,Σ)，請回答下列問題：
(1)3% 請寫出多元常態分配的定義(含退化型)以及求其動差生成函數。
(2)3% 請證明多元常態分配經線性變換平移後依舊是多元常態分配。
C9、6%
~
設X=(X,Y)^T為一隨機向量且服從二元常態分配如下：
f~ (x.y)=1/(6π√7)exp{-8/7 (x^2/16 - 31x/32 + xy/8 + y^2/9 - 4y/3 +71/16)}，
X
x,y∈R
~
(1)3% 請求出此分配的期望值向量μ、共變異數矩陣Σ以及相關係數ρ
(2)3% 請利用上式求下列條件期望值與條件變異數的大小。
(i)1% E(Y∣X=4)=? (ii)2% Var(Y∣X=4)=?
C10、6%
我們在做線性迴歸模型的時候，都會假設樣本資料都是行向量線性獨立的情況。某一研
究者好奇這是一個很容易發生的事情嗎？於是他考慮下列問題：
有兩個色正四面骰，一紅一白，並各標上1~4號，每次投擲兩顆骰子記錄其大小，設其中
Xi為投擲第i次紅骰點數，Yi為投擲第i次白骰點數，投擲n次，我們可以利用Zi建構一n*2
矩陣A，其中Zi表示第i個向量。
(1)4% lim P(rank(A )=2)=?
n→∞ n*2
(2)2% 如果你是這位研究者，從上式的結果中，你得到了什麼樣的啟示？