課程名稱︰微積分乙下
課程性質︰物治系、農化系、牙醫系、公衛系、藥學系、醫技系、職治系 必修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2014年 4月15日
考試時限（分鐘）： 約 110 分鐘
是否需發放獎勵金： 是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
期中考
∂f ∂f ∂f
【公式】 f ( x , y , z ) 之梯度為 grad f = i * ── + j * ── + k * ──
∂x ∂y ∂z
（維數不同，當然要調適）
平面上， f ( x , y ) 沿著（輻角θ）方向 u = i * cos(θ) + j * sin(θ)
之變化率，就是 u 與 grad f 的內積
∂f ∂f
u ·grad f = cos(θ) * ── + sin(θ) * ──
∂x ∂y
【定理】 若 b 為常數，則：
d t d b
─∫φ(u) du = φ(t) ； ─∫φ(u) du = -φ(t) ；
dt b dt t
1. 求函數 f 之偏導函數：
y+x 2
f ( x , y ) = ∫ sin(t ) dt ；
y-x
＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿ ＿＿＿
√(π/2) - √(π/6) √(π/2) + √(π/6)
在點 ( ────────── , ────────── ) 處，函數 f 之梯度為何？
2 2
請問選擇什麼樣的方向，可以讓函數 f 減少最快？減少率多少？
1 1 1
2. 求∫∫ ───── dy dx .
0 x^(1/3) 1 + y^(4)
請畫圖表示一下積分域 .
2 2
3. 請說明：函數 f ( x , y ) = 5 ( x-2 ) - 4 ( x-2 ) ( y+3 ) + 2 ( y+3 ) + 5
之極小值為 5 .
1 π*xy
今函數 g ( x , y ) = ─── * sin(───) ，而 h(x,y) = f(x,y) + g(x,y) .
300π 2
求：函數 h 之極小點 .
【註】很有餘裕，再算極小值 .
2 2
x y 2
4. 在 g ( x , y , z ) = ─ + ─ + z = 1 的條件下，
9 6
2 2 2
求函數 f ( x , y , z ) = x + y + 4z 之極值 .