課程名稱︰實分析一
課程性質︰數學研究所必選修、應用數學科學研究所必選修、數學系選修
課程教師︰劉豐哲
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2014年01月
考試時限：110分鐘
試題 :
　　　　　　　　　　　　　　Real Analysis I (Fall 2013)
　　　　　　　　　　　　　　　　Final Examination
1. (20%) A family {f_α} of integrable function on a measure space (Ω,Σ,μ)
　 is called uniformly integrable if for any ε > 0, there is δ > 0 such that
　 if A is contained by Σ with μ(A) ≦ δ, then ∫|f_α|dμ≦ε for all α.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A
　 Show that if {f_n} is uniformly integrable sequence of functions on Ω which
　 converges a.e. to an integrable function f on Ω, then
　　　　　　　　　　　　　　　lim ∫|f_n - f|dμ = 0.
　　　　　　　　　　　　　　 n->∞
　　　　　　　　　　　　　　　 n
2. Let ω≧0 be integrable on R and let μ be a premeasure defined for open
　 sets G in R^n by　　　　　　　　　　　　　　n
　　　　　　　　　　　　　　　　μ(G) = ∫ωdλ
　　　　　　　　　　　　　　　　 n　　　 G
　 Denote by μ* the measure on R constructed from μ by Method I.
　 (a) (6%) Show that μ*(S) = inf μ(G) where infimum is taken over all open
　　　 sets G containing S.
　 (b) (7%) Show that μ* is a Caratheodory measure and
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n
　　　　　　　　　　　　　　　μ*(B) = ∫ωdλ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　B
　　　 for Borel sets B.　　　　　　　　　　μ* 　　　　　　　　　　n
　 (c) (7%) Show that L^n is contained by Σ and μ*(A) = ∫ωdλ if A
　　　　　　　　　 n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A
　　　 belongs to L .
3. (20%) Define a function f on (0,∞) by
　　　　　　　　　　　　　　　　　∞ e^(-xt^2)
　　　　　　　　　　　　　f(x) = ∫