課程名稱︰偏微分方程式二
課程性質︰數學研究所基礎課
課程教師︰林太家
開課學院：理學院
開課系所︰數學系、數學研究所、應用數學科學研究所
考試日期︰2015年04月28日(二)，10:20-12:10
考試時限：110分鐘
試題 :
　　　　　　　　　　　　　　Test 2　　　　　　　　　　　　　　　　　4/28/2015
1. 20%　　　　　　　　　　　　1,p
　Prove directly that if u∈Ｗ (0,1) for some 1 < p < ∞, then
　　　　　　　　　　1-(1/p)　 1　　p　 (1/p)
　|u(x)-u(y)|≦|x-y|　　　　(∫|u'| dt)　　　for a.e. x,y∈[0,1].
　　　　　　　　　　　　　　　0
2. 20%
　Assume 1 < p < ∞, and U is bounded.
　　　　　　　　　　　　 1,p　　　　　　　1,p
　(i) Prove that if u∈Ｗ (U), then |u|∈Ｗ (U).
　　　　　　　　　　　1,p　　　　　 +　-　　1,p
　(ii)Prove that u∈Ｗ (U) implies u, u ∈Ｗ (U), and
　　　　　　　　　　　　　+　 /　Du　　a.e. on {u > 0}
　　　　　　　　　　　　Du =
　　　　　　　　　　　　　　　\ 0　　 a.e. on {u≦ 0},
　　　　　　　　　　　　　- / 0　　a.e. on {u≧ 0}
　　　　　　　　　　　　Du =
　　　　　　　　　　　　　　　\　-Du　 a.e. on {u < 0}.
　　　　　　　+
　　　(Hint: u = lim F_ε(u), for
　　　　　　　　ε→0
　　　　　　　　　　　　　　　　/　(z^2+ε^2)^(1/2) - ε　if z≧ 0
　　　　　　　　　　　F_ε(z):=　
　　　　　　　　　　　　　　　　\　0　　　　　　　　　　　if z < 0.)
　　　　　　　　　　　　　1,p
　(iii) Prove that if u∈Ｗ (U), then
　　　　　　　　　　Du = 0 a.e. on the set {u = 0}.
　Integrate by parts to prove the interpolation inequality:
　　　　　　　　　　　　　2　　　　　 2　(1/2)　　 2 2　(1/2)
　　　　　　　　　　∫|Du| dx ≦ C(∫u dx)　　(∫|D u| dx)
　　　　　　　　　　 U　　　　　　　U　　　　　 U
　　　　　　　∞　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2　　 1
　for all u∈C (U). By approximation, prove this inequality if u∈H(U)∩H(U).
　　　　　　　c　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　0
　3. 20%　　　　　　　　　　0
　　Fix α > 0 and let U = B(0,1). Show there exists a constant C, depending
　　only on n and α, such that
　　　　　　　　　　　　　　　　 2　　　　　　　2
　　　　　　　　　　　　　　　∫u dx ≦ C ∫|Du| dx,
　　　　　　　　　　　　　　 U　　　　　 U
　　provided　　　　　　　　　　　　　　　　　 1
　　　　　　　　　　　|{x∈U|u(x)=0}|≧α, u∈H(U).
　4. 20%　　1　n
　　Let u∈C (R ). Prove that
　　　　　　c
　　　　　　　 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 |Du(y)|