課程名稱︰線性代數
課程性質︰必修
課程教師︰呂學一
開課學院：電機資訊學院
開課系所︰資訊工程學系
考試日期（年月日）︰2017/9/26
考試時限（分鐘）：60
試題 :
第一題
Let V and W be vector spaces over a common scalar field F.
Let U be a subspace of V. Let T: V -> W. Let T': U -> W be the function with
T'(x) = T(x)
for each x∈U. Prove or disprove that if T is linear, then so is T'.
第二題
(1) (10 points) Define Lagrange polynomials with respect to distinct scalars
c , ..., c in field F.
0 n
(2) (10 points) Prove or disprove that Lagrange polynomials with respect to
distinct scalars c , ..., c form a basis of |P_n(F).
0 n
第三題
(1) (10 points) Replacement Theorem敘述中的有個前提是|S|必須有限。
請解釋如果|S|＝∞的話，我們在課堂上給的證明會在哪裡出錯？
(2) (10 points) 我們用一個 induction by |Q| ≧ 0 的數學歸納法證明不冗咖定理。
其實我們的證明只保證定理在|Q|有限的時候是成立，該數學歸納法並沒有證明|Q|=∞時
也會有某個R⊆S會滿足那三個條件(相離，大小，地盤)。請你想一想根據我們在課堂上給
的歸納法證明，如何（在不更動那個證明的前提下）進一步推出既然|S|有限，也就不可
能找到一個不冗的Q⊆span(S)還能滿足|Q|=∞。你的論證可以直接使用任何我們在課堂上
提過的性質(有證明或沒證過的都可以)。
第四題
(1) (10 points) 請證明直觀冗與威力冗等價。
(2) (10 points) 請證明威力冗與實戰冗等價。
第五題
(1) (5 points) 何謂(向量空間之間的)線性函數？
(2) (5 points) 請證明線性函數必定把零怒送到零。
(3) (10 points) 請證明(從V到W的)線性函數(T)相對於(V的)某子空間(U)的值域(T(U))
也必定是個(W的)子空間。