課程名稱︰偏微分方程式導論
課程性質︰數學系大三必修
課程教師︰陳俊全
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2018年05月04日(五)
考試時限：08:10-10:00，共計110分鐘
試題 :
Choose 4 from the following 6 problems
1. Solve the following equations.
2 2
(a) u + u + (y-x)u = y + 3xy - 4x .
x y
(b) uu + u = 0 for -∞＜x＜∞, t＞0,
x t
　　　　　　　　　{ 0,　x≦0
u(x,0) = { x,　0＜x＜1.
　　　　　　　　　{ 1, x≧1
2. Let ψ be a bounded continuous function on |R and
　　　　　　　　　　　　　　　∞
　　　　　　　　　　u(x,t) = ∫ W(x-y,t)ψ(y)dy,
　　　　　　　　　　　　　　 -∞
　　　　　　　　　　　　　　-1　-z^2/4t
　 where W(z,t) = (√(4πt)) e　　　 . Show that lim u(x,t) = ψ(x).
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　t->0+
3. Solve the problem:
　　　　　2
　　u - c u = 0, 0＜x＜3, t＞0,
tt xx
　　u(x,0) = 0, u (x,0) = 1,　0≦x≦3,
　　　　　　　　 t
　　u(0,t) = u(3,t) = 0, t＞0.
4. Solve the problem:
　　u - u = 2 + x, 0＜x＜∞, t＞0,
t xx
x -x
　 u(x,0) = e + e ,　u (0,t) = t.
　　　　　　　　　　　　 x
5. Solve 2u - u - u = 0, u(x,0) = sin x, u (x,0) = x.
　　　　　 tt　 xt xx t
6. Assume u = ku for -1<x<1, 0<t<∞, u(-1,t) = 0 = u(1,t), u(x,0) = sin x.
t xx
　 (a) Show that -1≦u≦1.
(b) Show that u(x,t) = -u(-x,t).
　 (c) Let a(t) = min{u(x,t):-1＜x＜1}. Show that a(t) is nondecreasing
function of t.