※ 引述《buffalobill (水牛比爾)》之銘言：
: 想到就po
: PuzzleUp風味題
: 先說這題我寫程式算的
: 紙筆的話我還不知道如何列式子……
: 【擲骰算分】
: 擲一枚公正骰子六次，並計算分數
: 分數的計算規則如下：
: 第1次擲骰：擲出的點數即為起始分數
: 第2~6次擲骰：與上一次擲骰作比較
: 若比上次擲骰點數高，則分數+1
: 若比上次擲骰點數低，則分數-1
: 若與上次擲骰點數相同，則分數加倍 (分數可小於0)
: 問：若第一次擲骰點數為2，則六次擲完分數的期望值為何？
: 以最簡分數作答
: 若只擲兩次，則期望值為 17/6
令 f(s, d, n) = "現在是 s 分，上一次的點數為 d ，還可以骰 n 次" 的期望值
f(s, 1, 1) = (7/6)*s + 5/6
f(s, 2, 1) = (7/6)*s + 3/6
f(s, 3, 1) = (7/6)*s + 1/6
f(s, 4, 1) = (7/6)*s - 1/6
f(s, 5, 1) = (7/6)*s - 3/6
f(s, 6, 1) = (7/6)*s - 5/6
觀察到 s 的係數都是 7/6 ，令常數為 b_{1,1}, b_{2,1}, ..., b_{6,1}
則 b_{1,1} = -b{6,1}, b_{2,1} = -b_{5,1}, b_{3,1} = -b_{4,1}
假設:
f(s, d, n-1) = a_{n-1} * s + b_{d,n-1}
且 b_{1,n-1} + b_{6,n-1} = b_{2,n-1} + b_{5,n-1} = b_{3,n-1} + b_{4,n-1} = 0
(在 n-1 = 1 時，假設成立)
則:
f(s, 1, n) = (1/6)*( f( 2s, 1, n-1)
+ f(s+1, 2, n-1)
+ f(s+1, 3, n-1)
+ f(s+1, 4, n-1)
+ f(s+1, 5, n-1)
+ f(s+1, 6, n-1))
= (1/6)*( a_{n-1}*2*s + b_{1,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{2,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{3,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{4,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{5,n-1}
+ a_{n-1}*(s + 1) + b_{6,n-1})
= (1/6) * ( 7*a_{n-1}*s + 5*a_{n-1} )
同理， f(s, 2, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 3*a_{n-1})
f(s, 3, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s + 1*a_{n-1})
f(s, 4, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 1*a_{n-1})
f(s, 5, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 3*a_{n-1})
f(s, 6, n) = (1/6) * (7*a_{n-1}*s - 5*a_{n-1})
==>
f(s, d, n) = ((7/6) * a_{n-1}) * s + b_{d,n}
b_{1,n} = b_{1,1} * a_{n-1}
b_{2,n} = b_{2,1} * a_{n-1}
b_{3,n} = b_{3,1} * a_{n-1}
b_{4,n} = b_{4,1} * a_{n-1}
b_{5,n} = b_{5,1} * a_{n-1}
b_{6,n} = b_{6,1} * a_{n-1}