※ 引述《handsome0716 (SIGMA)》之銘言：
: 想問一個關於反函數的問題
: 我知道反函數的定義 也就是原本函數的定義域為另一函數的值域 原本函數的值域變為
: 新函數的定義域 則兩函數互為反函數
這樣描述還會包括進很多不是互相為反函數的組合
f : R -> R
f(x) = x+1
g : R -> R
g(x) = x+2
這樣定的話 f 的值域跟定義域都是 R, g 也是, 他們不互為反函數
重要的是反函數要把原本函數送過去的東西再送回來, 讓他們兩個合成後是 identity
: 請問…假如一函數f(x)=y=x-1
: 則f^-1(y)=x=y+1=g(y)以及f^-1(x)=y=x+1=g(x)
: 這兩個到底哪個才是f(x)的反函數 印象中會因習慣問題講自變數以x表示 然後f^-1(y)
: =x=y+1=g(y)改為f^-1(x)=y=x+1=g(x)然後才會跟f(x)對稱
: 但第一張圖突然又說g(y)是f(x)的反函數 那g(x)又是什麼…
1. 函數裡面的變數是 "dummy variable", 不論我們用什麼變數, 他們表示的都是
同一個函數. 令
f(x) = x^2
g(t) = t^2
h(u) = u^2
r(a) = a^2
不僅 f, g, h, r 相等, 而且 f(x) = x^2 跟 f(t) = t^2 跟 f(z) = z^2 通通一樣
函數就是把一個東西映射到另一個東西, 而 f(x) = x+1 這種記號的意思就是,
對於所有在定義域中的物件, v, 我們把它關聯到對應域中的物件 v+1
其中我們應該要知道在對應域中 "v+1" 要怎麼解讀
2. 文章中符號有混淆的地方
f(x) = x-1
f(t) = t-1
f(z) = z-1
這裡的 x, t, z 是 dummy variable, 用來代表這個函數要把什麼數字
送到什麼數字, 用什麼符號都一樣
"令變數 y = f(x), f(x) = x-1"
這句話想表達的是, 在以下環境中, 我們希望 y 是 x 的函數.
雖然我們只寫一個字母 y, 但是心中要把他想像成 f(x), 想像成 x-1 之類的算式
而當我們寫 g(y) = y+1, 這裡的 y 跟上面是毫無關聯的, 他只是在表示
g 這個函數是把一個數字 v 送到 v+1, 這個 y 是用來描述 g 這個函數的
dummy variable, 不是 y = f(x) 的 y
3. 若 y = f(x) = x-1
則 f^{-1}(y) = y+1
到此為止, 沒有 f^{-1}(x) = y = x-1 這個等式
我們知道 f 會把 x 送到 x-1, 也就是把 5 送到 4, 把 123 送到 122
而 f 的反函數會把一個數 y 送到 y+1, 也就是 7 送到 8, 把 255 送到 256
f^{-1}(y) = y+1, 我們可以任意改變變數, 不影響 "把什麼數字送到什麼數字":
f^{-1}(w) = w+1
f^{-1}(t) = t+1
他們都是一樣的. 因此 f^{-1}(x) = x+1 才會代表同一個函數
假如我們認定了符號 y := x-1, 那麼顯然 f^{-1}(x) = x+1 不等於 y
: 第二張圖說f^-1(y)為反函數 讓我覺得很矛盾 f^-1(y)不是只是f(x)移項的結果嗎 然
: 後要把y換成x 也就是f^-1(x) 這個東西才是反函數吧…
: https://i.imgur.com/ueAMwrL.jpg
: https://i.imgur.com/fD8DKfi.jpg
符號上習慣讓 "f^{-1}(y)" 指稱 f(x) 的反函數罷了
函數重要的是輸入與輸出之間的關係, 中間用什麼方式來描述都不影響的
也有的介紹到集合論的書會用數對的集合來建構函數:
把 f : N -> N
f(x) = x+7
這個函數, 用集合 {(1,8), (2,9), (3,10), (4,11), (5,12), ...} 來表示
這樣我們知道輸入是 2 時, 也能輸出要是 9