1.年級： 高一下
2.科目： 數學
3.章節：
高一下 數學歸納法
4.題目：
設 n 為自然數, 若2^(3n+3)-7n+41恆為
正整數 m 的倍數, 請問m有幾種不同的值?
A: 3種 http://ppt.cc/dFou
5.想法：
其實小弟我不太確定這題目應該歸類到哪一單元
比較直觀的想法是直接將n=1與n=2帶入
得到f(1)=98 f(2)=539
因為f(2)-f(1)不影響公因數的值
==> f(2)-f(1) = 441 = 3^2*7^2
因3不是f(1)或f(2)的因數, 49是兩者的公因數
所以可以直接猜想 m 的最大值可能為49
49的因數1,7,49皆為可能的答案
如果要證明的話, 目前猜測一種可能作法
2^(3n+3)-7n+41 ==> (7+1)^(n+1)-7n+49-7-1
==> (7+1)^(n+1)-1 -7(n+1) +49 之後再整理
不過因為這題是選擇題, 我想應該不需要這麼複雜,
還麻煩各位版友給點意見, 謝謝

數學歸納法

代入 n=1, 2 得前兩項為 49*2 和 49*11因為 m 須整除數列的每一項，所以只能 1, 7, 49

剛想到一個作法 f(n+1)-f(n)必為m的倍數f(n+1)-f(n) 整理後可得 7*2^(3n)-7 = 7[(2^3)^n-1]= 7[(7+1)^n-1] 1可以消掉 整理後必為49的倍數

這題為高一下 1-2 數學歸納法

以更正 thanks :)