※ 引述《med5566 (美德5566)》之銘言：
: 本肥宅剛打了盹
: 夢到了以前讀高中的時候
: 物理老師在教克普勒三大行星運動定律
: 提到說他老兄是用肉眼加個望遠鏡
: 看出行星運動軌道是個橢圓、而且在同一個支配的恆星之下
: 所有的行星會滿足R^3/T^2為一個定值
: 如果可以、超想問看看他老人家當初是看到了啥才能發現這神奇事
: 大家以前也有讀過什麼神奇的事跡嗎
克卜勒的行星運動大三定律並不是一次提出的喔，而是有先後的發展過程。
而要談到克卜勒，就不能不提他的老師：第谷．布拉赫(Tycho Brahe, 1546-1601)，
若沒有第谷的精確觀察與記錄，就沒有後來的克卜勒與行星運動三大定律。
那是望眼鏡還沒發明的時代，
丹麥天文學家第谷．布拉赫僅靠著肉著每天記錄行星的位置，
並且因為他不接受哥白尼的日心說系統，
曾經提出一個被後人稱為「第谷行星體系」的系統。（如下圖1）
https://i.imgur.com/pX1sDsS.png
圖1 第谷行星體系
取自 http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Tychonian_system.svg
此系統是介於日心說與地心說之間的理論，
將地球視為靜止的中心點，太陽與月球皆繞行地球做圓周運動，
除地球與月球之外的其他天體再繞行太陽進行圓周運動。
為了驗證自己的理論是正確的，第谷開始對行星進行精確的測量工作。
他被視為天文史上精確計算行星位置的第一人。
第谷在讀到年輕的約翰內斯．克卜勒(Johannes Kepler, 1571-1630)
在著作《宇宙的奧秘》所展現的才智與數學能力，
便邀請他以助手的身分協助自己，負責計算行星的軌道。
1600年2月4日是兩人的初次見面（中間勞資糾紛吵架又和解的事就不提了）。
隔年，第谷逝世，留下大量且精確的行星觀測資料，
期望克卜勒能證明自己的行星體系是正確的。（蘇明俊、陳輝樺，2001a）
幸運獲得第谷觀測行星多年資料的克卜勒繼續觀察星體，
經過無數次的計算後，他發現火星的軌道並不是正圓形，
於是改以「太陽與火星的連線」思考，
驗證了「相等時間內，太陽與火星連線所掃過的面積是相等」，
即為「等面積定律」（如圖2）。
https://i.imgur.com/0bOiSgQ.gif
圖2 克卜勒行星運動第二定律、等面積定律
藍色的部份為單位時間掃過的面積，所以靠近太陽的近日點，行星會運行得比較快。
取自 https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kepler-second-law.gif
在等面積定律的基礎下，克卜勒持續對火星進行研究，
他發現兩個問題：
1. 火星軌道的直徑與正交直徑有8角分的誤差
2. 運行的速率時快時慢、並非等速運動
8角分有多少？從地平面到天頂是90度，
將你的手臂伸直、手掌併攏，此時眼睛看到手掌的寬度約為10度，
每一指手指約為2度。（如圖3）
而一度=60角分，
所以……8角分在地球上觀測大約就是把一根手指切成15等分的位置差。
https://i.imgur.com/cyKN0go.jpg
圖3 天文觀測單位：秒弧 (Arc-second)
取自 http://aeea.nmns.edu.tw/2001/0109/ap010908.html
這時你會怎麼辦呢？忽略不計？視為單純的觀測誤差？
克卜勒他相信第谷的觀測結果，
於是放棄自希臘時代以來公認最完美的正圓形，另尋他種軌道形狀。
最後發現橢圓軌道可以解決所有問題，
太陽正好位於橢圓的其中一個焦點之上，
推廣到當時已測得之所有行星亦符合觀測結果，
完成「橢圓軌道定律」
他將這個結果寫在1609年出版的《新天文學》一書，
（拉丁文：Astronomia nova、英文：New Astronomy），
提出了三大定律中的前兩條定律：
橢圓軌道定律（第一定律）與等面積定律（第二定律）。
下圖4取自《新天文學》，虛線為實際的火星橢圓軌道、實線是輔助圓，
幾個三角形是用於證明橢圓軌道對於等面積定律也成立。
此二定律的發表，代表第谷所提出的行星模式被推翻、哥白尼的日心說才是正確的，
但哥白尼的錯誤是把行星軌跡假設為正圓形，克卜勒修正了這個錯誤。
（蘇明俊、陳輝樺，2001b）
https://i.imgur.com/jihFR6X.png
圖4 克卜勒繪製之橢圓定律示意圖
取自 http://www.kepler-museum.de/index.php/einfuehrung/bereich-4.html
右上角的插圖是他老兄在欣喜之下畫出心目中的天文女神w
1610年，伽俐略用望遠鏡發現了木星的四顆衛星，
克卜勒在隔年得到一架望遠鏡，並用它觀測木星的四顆衛星後，
寫成《四顆衛星的觀測報告》支持伽俐略的發現。
在發表上述兩條定律之後，長年觀測行星、記錄行星運行的克卜勒，
從行星的運行之中，發現行星之間似乎存在著巧妙的和諧性。
他在1618年出版的《世界的和諧》
（拉丁文：Harmonices Mundi、英文：The Harmony of the Worlds）
用了大量的篇幅在描述音樂宇宙
（又稱天體音樂，Musica Universalis。Musica為音樂的中世紀拉丁文用詞）
的和諧、音樂合聲的原理，
書中也指出火星和木星之間出現了不合諧的情況，產生「例外」。
而第三定律相關的內容，在《世界的和諧》全書五章的第五章才出現，而且只有一頁。
「任兩行星之間，恰存在其週期比，等於其軌道平均距離的3/2次方比之比例」
(Kepler, 1618；引自Hawking, ed., 2003, p.648)。
但克卜勒並未說明他怎麼得到這個結論，
因此推測是嘗試不同的數字組合後，
發現「欸這樣剛剛好\(☆_☆)/」就這麼用了。
加上這第三個「週期定律」，克卜勒行星運動三大定律於焉成形。
一直到1801年（克卜勒逝世後170年），科學家發現小星行帶的存在，
等於驗證克卜勒《世界的和諧》一書是正確的，他所說的例外並不是例外，
而是小行星帶處於火星與木星軌道之間導致的結果。
至於行星三大運動定律對牛頓提出萬有引力，
哈雷發現哈雷彗星的重要性，相信已不需要我再多言。
寫了這麼多，回到原po的疑問，
「超想問看看他老人家當初是看到了啥才能發現這神奇事」。
答案是他沒看到啥特別的，只是精確的觀察、檢查數據，
大膽提出新的假設、小心謹慎驗證而已。
科學發展從來不是靠一個人，也不是一次就得到正確答案，
後輩修正前輩的錯誤、再被後來的人修正，
哥白尼、克卜勒、牛頓、愛因斯坦、哈伯……
一位一位，疊加成一位巨大的巨人。
每個做研究的人都是站在巨人的肩膀上，
然後期許自己能看得更遠一點、成為其他人的肩膀。
最後，分享一段我非常喜歡的影片，現任科博館館長孫維新演講：
人生苦短，何不找些知識的趣味
https://youtu.be/ZMUJ72BEIPY
「科學的發展就是一部認錯過程的歷史。」
我非常非常喜歡這句話。
科博館目前有個「漫步太陽系」展（展期至明年02/17），
對天文有興趣的可以找時間去看看喔。
http://web3.nmns.edu.tw/Exhibits/107/SolarSystem/
沒想到之前寫的論文有部份在這派上用場，
參考文獻中的陳輝樺博士任職於科博館，是我的口試委員之一。
參考文獻
蘇明俊、陳輝樺（2001a）。國立自然科學博物館館訊165期──天文學家系列：第谷。
取自 http://web2.nmns.edu.tw/PubLib/NewsLetter/90/165/10.htm
蘇明俊、陳輝樺（2001b）。國立自然科學博物館館訊169期──天文學家系列：刻卜勒。
取自 http://web2.nmns.edu.tw/PubLib/NewsLetter/90/169/10.htm
Hawking, S. W. (Ed.). (2002). On the shoulders of giants: The great works of
physics and astronomy. Philadelphia, PA: Running Press.