先解結論：我覺得這個題目沒有漂亮的解法
甚至要"證明"270就是答案，也就是
"對所有比270小的正整數n，必然存在一整數k，k=0~9，n的正因數的個位數都不等於k"
這件事情都有些棘手，寫個程式從1檢查到270當然可行，但有限時間內用紙筆計算呢？
數學知識可以讓找答案的步驟簡化，但仍然無法很好地"證明"270就是答案
如果我非得要解這題給學生看(真心認為這題對準備指考學測的幫助近乎於0)
我的方法跟原PO會類似，我會先把0~9寫出來，把1劃掉不考慮(1是任何數的因數)
這題必須要有一種動態的想法，答案是寫成質因數分解，但隨時要把數字丟進丟出
起點：2跟5一定要放進去的原因是因為要造出0
但0 1 2 5 這幾個數字彼此相乘(包含2的任何正整數次方)只能造出個位數
0 1 2 4 5 6 8 還缺 3 7 9沒有被cover到所以勢必要引入3 and/or 7 等質數
11或13等更大的質數沒有必要丟進去，因為我們只看個位數
2^a * 3^b * 5^c * 7^d
c=1 因為5^2=25個位數還是5 c放2無法多cover更多的個位數
b+d (3跟7的冪次)一定要大於1理由如下：
如果b=1 d=0 3*5個位數還是5，3*2^a個位數還是偶數 (奇數至少有3 7 9 必須cover到)
b=0 d=1結果也一樣。所以3或7至少要放兩個(3^2, 7^2, 3*7)進去否則3 7 9 cover不完
偶數的世界先不管，奇數的世界只能奇數去相乘起來(偶數一摻進去就會變成偶數)
要cover 3 7 9就只能靠奇數，但5又靠不住(因為5乘奇數之後個位數都是5)
所以我們就從3^b * 7^d去討論
3的次方(的個位數)：3 9 7 1(1就過頭了，循環到底了)
7的次方(的個位數)：7 9 3 1(同上)
所以要cover 3 7 9三個個位數可以有兩個數字應該會比較小的選擇
(b=3, d=0) => 3^3
(b=2, d=1) => 3^2 * 7
前者比較小，上面是我的思路(有點亂，而且不先看到答案的話可能一時找不出來)
把上述思路事後諸葛一下，從觀察到 2 5 一定要放進去答案的質因數分解之後
可以不用管要如何去cover 0 2 4 6 8等偶數，因為 (1 3 5 7 9)*2之後個位數就是02468
這麼說13579都有製造出來後02468結尾的因數自然就出來了
13579之中5跟1又可以不必討論，5耍封閉所以一定要有5(但只要1次方就夠了)
剩下379就想辦法用 3^b * 7^d去討論，但是要找"最小值"的必要條件是"有上界"
必須要有一點整數論的了解才會知道說3的次方數(b)不用找到很大
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所以我會覺得這不是一個好的考題，所用到的知識過於瑣碎沒有系統解題又耗時
不是要陰謀論但除非學生程度超標，否則實戰寫得出來的可能只有"已經先做過"的學生
會出這樣題目的老師有幾種可能性：