李冶是金末元初的數學家，最著名的成就便是天元術，據說可解高次方程式。
相傳1232年蒙古軍圍攻汴京時，他曾上書金朝廷，說可以出一道數學難題，
只要蒙古帝國方面能解出來，就給予大量歲幣，如若不能，就要撤圍，退兵
三十里。
當然，別說蒙古方是不可能接受，連金哀宗也覺得不可能成功，便婉拒此
要求。
據說難題如下:
1+1/Y+1/(Y^2)+1/(Y^3)+1/(Y^4)+1/(Y^5)+1/(Y^6)+1/(Y^7)+1/(Y^8)= 0
求 [4x(Y^12)]^3 = K =??
當然，裡面的"Y"是指天元術裡的"天元"，就是未知數的意思。
當初李冶的要求是，能解出"K"值，就給蒙古帝國"K"萬兩銀，不能的話，
就要撤圍退兵。
有沒有人知道這題的答案???
或是有人知道如何解這題???

看起來能拆成[1+1/Y+1/(Y^2)][1+1/(Y^3)+1/(Y^6)]=0所以Y的8個根可寫成exp(i*PI*y) y=2/3、2/9、8/9、14/9、-2/3、-2/9、-8/9、-14/9K=[4*(Y^12)]^3=64*(Y^36)=64*1=64不過那年代沒有虛數的概念 所以我猜他多半沒解出Y 而是解出Y^3的其中一個可能值是1Y=exp(i*PI*y) 所以Y^36=exp(i*PI*36*y) 36*y分別等於24、8、32、56、-24、-8、-32、-56 皆為偶數 所以Y會是exp(i*PI*2)=1的整數次方 也就是1這題能解是因為可以拆成兩個變形的一元二次方程式相乘只是因為解出來是複數 所以用尤拉公式比較方便表示

其實把兩端同乘(1-1/Y)，就可以得到1-(1/Y^9) = 0，1/Y^9=1則1/Y的九個根就會落在複數單位圓 2*n*Pi/9 n=0、1、....、8的9個點上。n=0，即1/Y=1 這個根是同乘(1-1/Y)時虛增的，要去掉，剩下的8個根才是真的根。

收到了 感謝

但由於複數單位圓上的所有根都會滿足Y^9=1，所以Y^36也會等於1，不必把根分別實際寫出來也沒差。

d大的解法滿漂亮的

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推d大解法。蠻好奇當年李冶做題的思路是怎麼想的？

我以為到了數學版@@，李治出數學題考蒙古人也太有趣了

用matlab 算y有八個解全是複數解每個解丟公式，算出來是正負64，所以要給蒙古64萬

應該不會有負值，就是64才對