※ 引述《dickson69 (HHHHHHHH)》之銘言：
: 請教各位大大第3題
: 小弟對於原富點這類題目一直很不懂
: http://i.imgur.com/8tET8kQ.jpg
首先看看改變Xa,Ya對Ua的影響,和改變Xb,Yb對Ub的影響
(δUa/δXa,δUa/δYa)部分
可由畫圖得知當2Xa>Ya時為(0,1)而當2Xa<Ya時則為(2,0)
(δUb/δXb,δUb/δYb)則=0.5Ub (1/Xb,1/Yb) 發現不論Xb,Yb為多少,Ub偏微分皆為正值
(a)小題:
A原富(Xa,Ya)=(50,50)此時2Xa>Ya,偏微分為(0,1),
當A將X小量贈與B時,A的效用不減少,卻可以增加B的效用,顯然這不是有效率的分配點
(ps. 直到X贈與量達25時,B效用最大,(Xb,Yb)=(75,25),
此時B不論贈與A X或Y皆會減損B效用,而不會增加A效用)
(b)小題:
不論如何交易,Xa+Xb=Ya+Yb=100,
而由前小題可知,只要2Xa≠Ya,A皆可透過贈與B較大的那一項增加B效用而不減少自己效用
故所有Pareto均衡點都落在2Xa=Ya線上,
則(Xa,Ya,Xb,Yb)=(Xa,2Xa,100-Xa,100-2Xa)又這些點都必須大於0,得Xa在0到50間
(c)小題:
來個非典型解法直接套用價格概念好了,令X價格Px,Y價格Py
均衡時A每花Px可以買得δUa/δXa效用,花Py可以買得δUa/δXb效用
則1/Px δUa/δXa = 1/Py δUa/δYa套入函數
則當2Xa>Ya時為Px/Py=0而當2Xa<Ya時則為Px/Py=無限大
當2Xa=Ya時,Px/Py可為任意數
又同理對B有1/Px δUb/δXb = 1/Py δUb/δYb套入實際Ub函數得Px Xb = Py Yb
假定B交易後X,Y改變量分別為Tx,Ty
交易過程A,B都不想賠錢,所以Px Tx + Py Ty=0 .....(1)
又交易後(Xa,Ya,Xb,Yb)=(50-Tx,50-Ty,50+Tx,50+Ty)
B此時Px(50+Tx) = Py(50+Ty) .....(2)
A此時須2Xa=Ya則2(50-Tx)=(50-Ty)則Ty=2(Tx-25).....(3)
由(1)(2)得TxTy+25Tx+25Ty=0再將(3)代入得
2Tx^2+25Tx-1250=0
得Tx=19.519或-32.019
則(Xa,Ya,Xb,Yb)=(30.48,60.96,69.52,39.04)此時Py/Px=1.7808
(後解-32使Xa=82,Ya>100)
解出來有小數點,若要整數可找附近整數點代看看...
(30,60,70,40)時Ua=60,Ub=52.92
(31,62,69,38)時Ua=62,Ub=51.21
其中(31,62,69,38)的Ua+Ub值較大
後記:
min(Xa,Ya)這函數想直接用算式處理實在.....
如果所有U對X,Y,Z.....偏微出來的函數具有連續性,
用價格概念較易處理2項以上財貨
比方說有X,Y,Z三財貨,各自交易量用Tax,Tay,Taz,.....表示
對A來說須
1/Px δUa/δXa = 1/Py δUa/δYa =1/Pz δUa/δZa
代入Xa=(Xa0+Tax),Ya=(Ya0+Tay),Za=(Za0+Taz)
配合Px Tax + Py Tay + Pz Taz=0
可解出Tax,Tay,Taz分別皆為Px,Py,Pz的函數
然後由Tax+Tbx+Tcx=Tay+Tby+Tcy=Taz+Tbz+Tcz=0
解聯立可求出Px,Py,Pz比值,
然後求出所有T值與X,Y,Z值