代Hyuui PO文
作者Hyuui (修) 看板Math
標題Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間Fri May 30 09:01:37 2014
我在之前的文章中，證明了Zeta函數的解析延拓。
http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html
如果只要求證明解析延拓的話，不需要算出過程中一些係數的確切值。
也不需要動什麼奇怪手術，所以我那篇文章非常簡短。
而這篇文章要證明以下式子：
Zeta{-n} = (-1)^n * B_(n+1) / (n+1)
其中B_n為Bernoulli number。
這會稍微複雜一點，但也不是很困難的事。
而且有了該式，我們顯然可得：
Zeta{0} = B_1 = -1/2
= 1 + 1 + 1 + ...
Zeta{-1} = (-1/2) * B_2 = -1/12
= 1 + 2 + 3 + ...
注意：
嚴格來說，解析延拓的Zeta函數在拓展後的定義域中，
其實已經不是 Sum{1/n^z} 的形式了。
所以上述兩式等於後半的發散級數，其實並不嚴謹。
──
1.
我在之前的文章提到：
把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。
1 / (e^t -1)
= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
如果真的去計算那些係數(依照Laurent展開的定義即可)，會得到以下結果：
a_0 = -1/2
a_(2k) = 0
a_(2k-1) = B_2k / (2k)!
這裡的B_n稱為Bernoulli number，其中一種定義方式即為：
t / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^n / n! }
且從上述的計算可知，B_n在 n>1 時的奇數項皆為0
所以
t^(z-1) / (e^t-1) = Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! }
做個簡單的多項式積分：
Int_0~1 { t^(z-1) / (e^t -1) } dt
= Int_0~1 { Sum_n=0~∞ { B_n * t^(z+n-2) / n! } } dt
= Sum_n=0~∞ { B_n / n!(n+z-1) }
它的前幾項是：
k=0, B_0 / (t-1) = 1 / (t-1)
k=1, B_1 / t = -1 / (2t)
k=2, B_2 / 2(t+1) = 1 / 12(t+1)
k=3或更大的奇數, 0
k=4, B_4 / 4!(t+3) = -1 / 720(t+3)
k=6, ... (省略)
注意到前三項就是Chatterly的「手術」亂湊出的項，但這是錯的。
因為這三項根本就是第一個積分的一部分，要寫也沒寫完。
//
Chatterly：
鄉民只要記得,這裡最大的關鍵的數學家機密就是我6月15號要公布我的計算過程
重點是做手術 重點是做手術
-> 手術結果就是在下面上色的
重點是做手術 重點是做手術