雖然該睡了..
但圖示法似乎效益不彰
因此我還是試著用文字說明1-1+1-1+...=1/2吧
首先是個級數
a0 + a1 + a2 + a3 + ...
我們要如何算出它的值?
1個最常規的方法是令
S1 = a0
S2 = a0 + a1
S3 = a0 + a1 + a2
S4 = a0 + a1 + a2 + a3
...
然後定義
a0 + a1 + a2 + a3 + ... =
lim Sn = sum1(a0, a1, a2, a3, ...)
n→∞
上面的算法看起來很直觀
一次加一項，最後就把每一項都加起來了
但或許有人會覺得以下算法一樣直觀
T1 = a0 + a1
T2 = a0 + a1 + a2 + a3
T3 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5
T4 = a0 + a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7
...
然後定義
a0 + a1 + a2 + a3 + ... =
lim Tn = sum2(a0, a1, a2, a3, ...)
n→∞
一次加兩項，最後也是把每一項都加起來啦
甚至我們也可以一次不是加完整的一項
U1 = a0
U2 = a0 + (1/2)a1
U3 = a0 + (2/3)a1 + (1/3)a2
U4 = a0 + (3/4)a1 + (2/4)a2 + (1/4)a3
...
然後定義
a0 + a1 + a2 + a3 + ... =
lim Un = sum3(a0, a1, a2, a3, ...)
n→∞
第一次加一半的a1，然後再加一點a1和一點a2，然後再加一點a1和一點a2和一點a3
最後還是完整地加起了每一項
以上定義的sum1,sum2,sum3直觀上都是計算 a0 + a1 + a2 + a3 + ... 的方法
但是我們一般會說sum1和sum3定義得比較好，sum2比較差
因為sum2不滿足一些我們一般認為求和法該有的特性，其中之一是sum2不stable
定義: sum stable
sum(a0, a1, a2, a3, ...)存在 iff sum(a1, a2, a3, ...)存在
且 sum(a0, a1, a2, a3, ...) = a0 + sum(a1, a2, a3, ...)
sum2(1, -1, 1, -1, ...) = 0 ≠
1 + sum2(-1, 1, -1, 1, ...) = 1 + 0 = 1
除了stable外，另一個我們常要求的特性是linear
定義: sum linear
若sum(a0, a1, a2, a3, ...)和sum(b0, b1, b2, b3, ...)皆存在
則sum(a0+c*b0, a1+c*b1, a2+c*b2, a3+c*b3, ...)存在
且sum(a0+c*b0, a1+c*b1, a2+c*b2, a3+c*b3, ...) =
sum(a0, a1, a2, a3, ...) + c * sum(b0, b1, b2, b3, ...)
sum1和sum3都是stable且linear的求和法
其實光是stable和linear就會讓算出的值十分受限了
從最基礎的，若sum linear
若sum(0, 0, ...)存在
sum(0, 0, ...) = sum(0+0, 0+0, ...)
= sum(0, 0, ...) + sum(0, 0, ...)
(liear)
sum(0, 0, ...) = 0
若sum stable & linear
若sum(1, 0, 0, ...)存在
sum(1, 0, 0, ...)
= 1 + sum(0, 0, ...)
(stable)
= 1
(linear)
若sum stable & linear
若sum(1, -1, 1, -1, ...)存在
0 + sum(1, -1, 1, -1, ...) + sum(1, -1, 1, -1, ...)
= sum(0, 1, -1, 1, ...) + sum(1, -1, 1, -1, ...)
(stable)
= sum(0+1, 1-1, -1+1, 1-1, ...) = sum(1, 0, 0, 0, ...)
(linear)
= 1
(stable & linear)
sum(1, -1, 1, -1, ...) = 1/2
當然，這只是說當sum(1, -1, 1, -1, ...)存在時需滿足的條件
和sum(1, -1, 1, -1, ...)存在與否完全無關
但是的確有stable且linear的方法能求得此和，也就是我們前面定義的sum3
而sum3(1, -1, 1, -1, ...)也的確等於1/2
類似的我們也可以知道對於stable&linear的sum
sum(1, -2, 3, -4, ...)
要嘛不存在，不然就必須是1/4
不過很可惜的
sum(1, 2, 3, 4, ...)存在和
sum stable & linear
兩者是矛盾的，也就是任何stable且linear的求和法
都無法算出 1 + 2 + 3 + 4 + ... 的值