鄉親們，很遺憾石耀淵又落跑了，就跟他在2014年做的事一樣。
: ※ 引述《Hyuui (修)》之銘言：
: : 如果你能成功證明 zeta 函數在 z=1 解析延拓收斂，就算我輸，場地費我付，並且履約
: : 當年的賭注一千萬元新台幣。
: : 反之，如果你無法證明，就是你輸，請履約賭注一千萬元新台幣。場地費可以算我的，剩
: : 餘的款項，我會捐給臺灣向日葵全人關懷協會、台灣兒童暨家庭扶助基金會、博幼社會福
: : 利基金會等公益團體。
: : 你當年可是逼我賣房子、賣內臟、簽長年契約、簽本票，我通通答應了，這次也不例外，
: : 我隨時可以找律師朋友見證簽約，債權絕對有法律效力。希望你不要又aloba，第n次被電
: : 到放棄帳號落荒而逃。
: : P.S. 我再加碼，只要辦成，我在台北和新竹各發100份雞排，憑本篇推文截圖領取。
......但好消息是，大家還是有雞排可以吃喔喔喔！！！
※ 引述《Schwinger (千金之子不死於盜賊)》之銘言：
: 12月8日是星期六,你不能再說你要上班了XD
: 我們只要辦成這次辯論會,規矩就是我之前文章所說的
: https://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1543969642.A.AD1.html
: 至少三天後彼此要互相把
: 1+2+3+...+ 無窮大 = -1/12
: 在網路公開直播彼此的解法,再網路寫給大家看,你不能一直推託你要上班沒時間,
: 也不能用你google的陷阱,我也承認我過去錯誤的結論一直來讓我跳,但是你這人從來沒有
: 真正老老實實去弄懂
: 我本人願意加碼,土條願意跟我直播彼此公開自己的解法
: 1+2+3+...+ 無窮大 = -1/12
: 如果你有做出來(歡迎你google喔),在新竹清大發300份雞排和珍珠奶茶
誰跟你三天？我四年前就做完啦。
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│ 文章代碼(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函數和Gamma函數的一? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401122938.A.A36.html │
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關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。
1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的
「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了，所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這
回事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好，它並
不是嚴謹的數學結果。
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│ 文章代碼(AID): #1JXzXqg4 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
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2.
在以下這篇文章中，給出了Zeta{-n}的計算方法。
zeta與Gamma函數—zeta的解析延拓 | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/29/zeta與gamma函數ii-zeta的解析延拓/
印象中，這應該是Ahlfors的證法。
我想用另外一個方法教大家計算Zeta函數在整數點的值。
複習一下sin{x}的連乘積表示法：
sin{x} = x * Pro_n=1~∞ { 1 - x^2 / (n^2 * π^2) }
故
z * Cot{z}
= z * ( Cos{z} / Sin{z} )
= z * d/dz ln{ sin{z} }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2 - z^2) }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / [ (n^2 * π^2) * (1 - [z/nπ]^2) ] }
= 1 - 2 * Sum_n=1~∞ { z^2 / (n^2 * π^2) * Sum_k=0~∞ { (z/nπ)^(2k) } }
= 1 - 2 * Sum_k=0~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k+2) } * z^(2k+2) / π^(2k+2) }
= 1 - 2 * Sum_k=1~∞ { Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } * z^(2k) / π^(2k) }
注意到式中已經出現
Sum_n=1~∞ { 1 / n^(2k) } = Zeta{2k}
考慮另一種展開：
z * Cot{z}
= z * ( Cos{z} / Sin{z} )
= iz * [e^iz + e^(-iz)] / [e^iz - e^(-iz)]
= iz + 2iz / [e^(2iz) -1]
= 1 + Sum_k=2~∞ { (2iz)^k * B_k / k! }
比較係數後可得：
Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!
──
3.
接下來，假設大家知道Riemann functional equation：
Zeta{z} = 2 * (2π)^(z-1) * sin{πz/2} * Gamma{1-z} * Zeta{1-z}
為避免篇幅過長，此處將證明略去，有興趣可自行參考複變課本。
當 z=-2k+1
Zeta{-2k+1}
= 2 * (2π)^(-2k) * sin{(-2k+1)π/2} * Gamma{2k} * Zeta{2k}
= 2 * (2π)^(-2k) * (-1)^k * (2k-1)! * Zeta{2k}
我們已經知道：
Zeta{2k} = (-1)^(k+1) * (2π)^(2k) * B_2k / 2(2k)!
代入做整理：
Zeta{-2k+1} = (-1)^(2k+1) * B_2k / 2k
最後可得：
k=1, Zeta{-1} = -1/2 * B_2 = -1/12
k=1/2, Zeta{0} = B_1 = -1/2
──複習一下當年的推文，然後大家就去新竹找石耀淵領雞排吧！
#1JXARAUb (Math) 2014.05.28
→ josh28 :不才清大數學09級 程度不怎樣 所以當年沒應屆畢業有05/28 08:34
→ josh28 :幸修到沈昭亮老師的複變05/28 08:34
→ josh28 :我只能說 Hyuui的幾乎每一字一句說明都跟沈昭亮老師05/28 08:35
→ josh28 :當年教過的一模一樣 只差沒有照本宣科的寫出來05/28 08:35
→ josh28 :某C講的是對的 除非已故沈昭亮老師當年在亂教 05/28 08:37
→ josh28 :沒人站在你那邊是理所當然 因為本來就是你在鬼扯05/28 08:40
→ josh28 :另外 所有你打的數學式子我沒有能力一一挑錯暫不提05/28 08:42
→ josh28 :Hyuui的回答一直重複根本是不得已 因為你從頭到尾沒 05/28 08:43
→ josh28 :有辦法回應過 只是不斷跳針做人身攻擊還有修正自己的05/28 08:43
→ josh28 :說詞而已y 05/28 08:43
→ josh28 :光這個討論串你回了九篇 一個像樣的證明都給不出來05/28 08:44
→ josh28 :到這篇的說詞已經變成"我不想公開我的想法"了05/28 08:45
→ josh28 :我話不全說死 因為這篇除了數學系大三教過的內容以外05/28 08:46
→ josh28 :其它非我能力所及 所以"我選擇"相信你是在胡說八道05/28 08:47
→ josh28 :理由是Hyuui寫的東西全部都是當年我上課聽過教過證過 05/28 08:48
→ josh28 :的東西 而你說他錯卻拿不出證明 05/28 08:48
→ josh28 :順便昭告一下 上面這段話只是個人想法 不對某C的"真 05/28 08:49
→ josh28 :才實料"做任何指控 我只是幫Hyuui背書幾件事: 05/28 08:50
→ josh28 :1.Hyuui的每一篇文章內容的確都是清大數學系大三課程 05/28 08:51
→ josh28 :所教過的 05/28 08:51
→ josh28 :2.所以除非當年沈老師是在亂教 不然Hyuui寫的東西都 05/28 08:52
→ josh28 :會是對的 05/28 08:53
→ josh28 :3.同理 某C所謂的Zeta函數的解析"超難"這件事會成立 05/28 08:54
→ josh28 :我想大概是在某個平行世界裡才有可能吧 05/28 08:55
→ Hyuui :感謝學長為我說話。我是10級的，沒修到沈昭亮老師的 05/28 09:23
→ Hyuui :複變，但我的分析學(微積分、高微、泛函)的確是沈老 05/28 09:24
→ Hyuui :師教的，他是我大學時期最重要的恩師。 05/28 09:24
→ Hyuui :聽到學長說我的證法跟沈老師當年教的一模一樣，真是 05/28 09:25
→ Hyuui :倍感榮幸，看來我沒令沈老師丟臉。再次感謝學長。:) 05/28 09:26
#1JYWr5Bi (Math) 2014.06.06
推 Hyuui :今天是josh28學長開的期限，Lindemann到底有沒有把寫06/06 14:15
→ Hyuui :好的邀請函請josh28學長轉交給教授啊？06/06 14:15
→ Hyuui :就不要嗆聲嗆這麼大，我也早說奉陪了，結果自己連個06/06 14:16
→ Hyuui :邀請函都不敢寫，害怕讓教授知道他丟臉喔？06/06 14:16
→ Hyuui :我超想看到有人證明Riemann/Hurwitz zeta函數在s=1解06/06 14:19
→ Hyuui :析，而且證明手法完全不會和我或Frank雷同呢。 06/06 14:19
→ josh28 :隔了這麼多天好像這件事都沒下文 那就如果忽然之間06/10 12:26
→ josh28 :又想到需要我幫忙的自行寫信給我囉 我不再回頭爬文了 06/10 12:27
推 Hyuui :我連攝影器材都幫他打點好了說，真失望。 06/10 20:26
#1JcpRsIe (Math) 2014.06.14
→ Hyuui :明天就要6/15了，結果他根本不敢邀教授，我超失望。06/14 12:53
→ Hyuui :一週多前我就幫他把攝影器材和人力打點好了說。06/14 12:55
→ Hyuui :結果他一聽說我真的要去，就開始裝死了。06/14 12:55
→ Hyuui :跟之前一千萬事件一樣，嗆聲嗆很大，結果臉丟光了。 06/14 12:56
#1Jd6MWEk (Math) 2014.06.15
→ Lindemann :最後拜託鄉民們不要再寄信給我了,我這帳號不用了06/15 00:23
──【警告】以下是完整數學證明，對數學沒有興趣的人可以跳過。
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│ 文章代碼(AID): #1JWt1wes (Math) [ptt.cc] [分析] Zeta函數和Gamma函數的一? │
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作者 Hyuui (修) 看板 Math
標題 [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間 Tue May 27 00:48:54 2014
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Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果，但他說的東西有些錯誤。為了避免他
誤導別人，我想拉回來Math板上解說一下，順便補充一些我覺得有趣的東西。
──
#1JTsjw0U (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html
//Gamma解析延拓出去整個到複數平面,所有整數點包括 1 都是奇點//
#1JWWbT8- (Gossiping)
http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html
//解析延拓是每一個整數點都不可解析而不是你說的z=1//
──
解說如下：
1.
對於實部大於1的複數s，我們定義Zeta函數如下：
Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}
Zeta函數的原始定義域是{s | Re(s) > 1}。經過解析延拓(analytic continuation)，可
以拓展為在 {s | s ≠ 1} 的複數平面上的解析函數。
而在 s=1 該點上，即為著名的調和級數。
Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
我之前在某篇文章中提過，17世紀的Pietro Mengoli就證明出調和級數發散。不過我後來
看到另一篇蔡聰明教授的文章，他說：「在1350年左右，N. Oresme（約1323～1382）證
明了調和級數發散， 這是歷史上第一個發散級數的例子。」
這個證明的思路相當簡單，有些讀者在高中時可能就已經學過了。
1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...
第二個級數的每個括號內的值都等於1/2，無窮多個1/2加起來顯然發散。注意到第一個級
數的每項都大於第二個級數，故第一個級數發散。
因此，Zeta函數在 s=1 是無法解析延拓的。
解析延拓的Zeta函數在s等於負整數的值，有一個方便的公式可以計算：
Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)
其中 B_(n+1) 為Bernoulli number。
由於 B_n 在 {n | n為奇數，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0
──
2.
對於實部大於0的複數s，我們定義Gamma函數如下：
Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt
Gamma函數在s等於正整數的值非常容易計算，因為有以下公式：
Gamma {n} = (n-1)!
Gamma函數的原始定義域是{s | Re(s) > 0}。經過解析延拓(analytic continuation)，
可以拓展為在 {s | s ≠ 0 or 負整數} 的複數平面上的解析函數。
在 {s | s = 0 or 負整數} 這些點上，Gamma函數是發散的，但我們可以使用留數定理計
算留數。
Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!
──
3.
關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。
1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的
「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了，所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這回
事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好，它並不
是嚴謹的數學結果。
至於「1 + 1 + 1 + ... = -1/2」，不嚴謹地說，則是解析延拓的 Zeta {0} 的值，它在
弦論中有些應用。但請注意，不要把Zeta函數和Gamma函數搞混了。雖然我們知道，Zeta函
數和Gamma函數相乘起來有個很漂亮的關係。
Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt
這個關係成立在Zeta函數和Gamma函數原始定義域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。
而且這個特殊關係無法改變以下事實：
1. Zeta函數在 {s | s ≠ 1} 發散。
2. Gamma函數在 {s | s = 0 or 負整數} 發散。
在整個複數平面上，我們比較常使用的是Riemann functional equation。
Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}
我們可以由sin {πs/2}這項再次看出：Zeta {-2n} = 0
──
以上是一些關於Zeta函數和Gamma函數的小說明，希望大家能弄清楚這些概念。
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│ 文章代碼(AID): #1JX9d-UQ (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
│ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401199102.A.79A.html │
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作者 Hyuui (修) 看板 Math
標題 Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間 Tue May 27 21:58:20 2014
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※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 這本算很簡單的,所以你是要表達Hyuui亂寫嗎?
: 說過了,我不會做Zeta的解析延拓,因為我不是做數論的,但是我剛剛看這本其實也還好
: 接下來這本書的 p.178頁 習題15 和16給你提示我作法了,我打的還比較仔細
: 來呀,證明一下這二題習題展現一下你的本領給大家看看啊,我的證明幾乎就是這習題了
: 然後更困難以下的習題幾乎是水到渠成了
: 1+2+3+.....=-1/12
: 1+1+1+....= -1/2
: 不要只是丟書好嗎? 我都認真寫算式了,我只是寫給懂得人看得
Lindemann = Chatterly 在物理板說：
//
這個物理學過弦論通常不是背起來就是用regulations來快速得到,
所以Hyuui他的文章已經是嚴重誤導鄉民,根本就是不懂裝懂,
跟鄉民保證全台灣沒有老師無聊去教這個的,真正會去深入研究的人除非是做解析數論的
所以拜託鄉民不要被Hyuui給騙了,他只是把wiki抄一下,然後竟然說他會做Zeta函數的
解析延拓(這超難的),如果他有本事不可能我的文章竟然連個一行都debug不出來
//
這讓我感到非常疑惑，因為Zeta函數的解析延拓是數學系大三生就會的東西。
中正數學系的情況我不清楚，至少在清華大學數學系，我們都是這樣教的。
或許物理系出身的弦論學家比較不在意嚴謹的數學證明，但這一定難不倒他們。
而且要說Zeta函數的解析延拓超難，卻說自己會做AdS/CFT，這實在很奇怪。
我從未學過解析數論，也很久沒碰複變了，但我可以憑著記憶挑戰一下。
──
讓我們從一個基本式子開始：
(我對統計力學不熟，所以不確定這在統計力學中是不是基本的東西。)
Zeta{z} * Gamma{z} = Int_0~∞ {t^(z-1) / e^t -1} dt
移項一下。
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * Int_0~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= 1 / Gamma {z} * [Int_0~1 + Int_1~∞] {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
注意到 Int_1~∞ {t^(z-1) / (e^t -1)} dt 是解析函數，記為g(z)。
我們要處理的只有 Int_0~1 的部分，
所以把 1 / (e^t -1) 作Laurent展開，係數先不管它。
1 / (e^t -1)
= 1/t + a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ...
故
Int_0~1 {t^(z-1) / (e^t -1)} dt
= Int_0~1 {t^(z-2) + a_0 t^(z-1) + a_1 t^z + ...} dt
= 1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...
所以
Zeta {z}
= 1 / Gamma {z} * {[1/(z-1) + a_0/z + a_1/(z+1) + ...] + g(z)}
注意到在z等於非正整數的時候，極點都會被Gamma函數抵消掉，
所以Zeta函數只有在 z=1 的時候有單極點。
Q.E.D.
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│ 文章代碼(AID): #1JXBZ-57 (Math) [ptt.cc] Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數? │
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└─────────────────────────────────────┘
作者 Hyuui (修) 看板 Math
標題 Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間 Wed May 28 00:10:35 2014
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※ 引述《Chatterly (chatterly)》之銘言：
: 解法都已經你說如下了,不要再胡說八道好嗎? 對下面給個詳細數學證明好嗎?
: