https://i.imgur.com/vGxMlOr.jpg
https://i.imgur.com/iwMQJgE.jpg
有兩個問題
1.
想問(3) → (1) 的意義
因為
Ax=b 有解 (包含唯一解和無限多組解) => A可逆
這條件其實蠻強的耶
ans:其實我們還有一個 for all b∈F^(n*1) 協助限縮
假設今天
Ax=b 有無限多組解 => A可逆
也符合上述命題邏輯呀，可是不對呀，這從RANK就可以證錯誤了
(無限多組解可將一列化為0列，有0列無法形成單位矩陣)
ans:這樣解釋這個命題是錯的，無限多組解的狀況不會符合這個命題的充分條件，
因為無限多組解可以找到一個b'使得Ax=b'變成無解，此時不符合
for any b∈F^(n*1), Ax=b有解，自然不能推論A可逆
其實可以從同等命題下去看
A不可逆 => Ax=b 無解 (X)
因為Ax = b 具無限多組解 也是不可逆
ans:這命題其實跟書上不同，書上的同等命題應該是
A不可逆 => ∃b∈F^(n*1), Ax=b 無解

它(2)跟(3)的b不是特定的b，是對所有的F^(n*1)都有解以你的第一個問題來說，那個0列對應的向量元素不是0就變成無解了，也就是存在無解的向量，所以不可逆從第二個問題，我看你應該是弄錯什麼叫有解了

對呀 所以這樣才不合理呀 如果b使得x為無限多組解

有解指的是對這個b來說，存在x使得Ax=b，未知的不是b

這樣A必然為不可逆呀，可是卻也符合充分條件的「有解」

問題就是你能找到對那個A來說無解的b啊所以代表不是所有的b都有解，前提就錯了

摁摁 所以我的疑問在於 書上說 (1)(3)等價 這件事示不是錯的

沒有錯啊，是你的邏輯錯了就像你第二個問題，對所有b都成立，所以對特定b也成立這是很正常的推論，沒有錯誤因為它就是在找反矩陣出來而已

這推論我能理解，我卡住的是有解不一定是特解呀，為什麼從特解推得A可逆，這樣能說明有解就一定可逆。

是「對所有的b都有解」，不要少掉這句話他不是由什麼特解推得A可逆，是因為對所有b都有解才能推到A可逆 不要講什麼特解...

那麼對所有的b都有解，Ax=b有無限多組解 => A可逆

我就是跟你說，如果Ax=b會有無限多解，那就代表你一定

該怎麼說明呢? 因為無限多組解我們可以 把A 和 b的同列

找得到另一個b'使得Ax=b'是無解

既然你有無解的b了，那就沒有A可逆了啊

然後b'要做什麼事呢?這部分容我思考一下邏輯QQ

什麼做什麼事，啊不就沒有for any b∈F^(n*1)了...

哦哦!!!! I got it 感謝解惑 QQ原來你指的前提不符是 b' 不符合 for any b∈F^(n*1)一直沒注意到這點QQ 難怪繞不出來

我說的前提不符主要是在講你1那邊推論箭頭的左邊我一直強調是對所有的b，因為你每個推論前提都沒寫這點你可以再想一下，你在1所說的同等命題應該寫成什麼樣子

我原本不把for all b∈F^(n*1)當做很重要的條件，以為他只是要描述b這個vector的型態而已，不知道for all的用處XD" 不過你舉出b'我就恍然大悟為什麼要for all了

推 在自己重新證明的時候也覺得怪怪的 搞懂了

兄弟你想太多了2跟3等價就代表若有解是唯一解所以你想太多不會是無限多解簡單回答你 見笑了

3->2的證明就是Ricestone大大說的b'呀，當初沒想通這個方法所以才會納悶呀。