[理工] 線代直和與正交補空間 gash55025502 PTT批踢踢實業坊

[理工] 線代直和與正交補空間

作者: gash55025502 (白影弓) 2019-10-25 00:39:24

想問個觀念問題：
我知道向量空間V的子空間W 以及W的正交補空間
可以直和分解V
但如果反過來
只知道向量空間V可分解成兩個子空間的直和
是不是就代表這兩個子空間互為正交補空間了？
https://i.imgur.com/vTYnN7o.jpg
https://i.imgur.com/fAxGpgl.jpg
像上面那張圖的第四題跟下面那張圖最上面的第三小題
是不是都只需要證明兩個子空間直和分解V就好？
如果可以的話想知道這個要怎麼證明感謝～

作者: Ricestone (麥飯石) 2019-10-25 00:45:00

不行，直和不需要正交

作者: gash55025502 (白影弓) 2019-10-25 00:49:00

這樣的話清大那題第三小題要用什麼方法證明比較好呢？

作者: Ricestone (麥飯石) 2019-10-25 00:55:00

就直接把偶函數跟奇函數的基底寫出來，證明它們正交dim相加等於4就好了啊

作者: gash55025502 (白影弓) 2019-10-25 01:10:00

喔喔大概懂了感謝！！

作者: zuchang (chang) 2019-10-25 16:10:00

直和可以當成是空間的基底的分解因為基底不保證正交所以你的結論錯誤

作者: ekids1234 (∵:☆星痕╭☆) 2019-10-25 18:58:00

我知道一條在V的向量v可以拆成兩條垂直的向量，但想不透和 eigenspace 的關係？(交大那題)

作者: Ricestone (麥飯石) 2019-10-25 19:01:00

Projection matrix就只有0跟1這兩個特徵值

作者: gash55025502 (白影弓) 2019-10-26 16:20:00

咦所以V(0)=N(P) V(1)=Im(P) 而N(P)跟Im(P)互為正交補這樣推有錯嗎?

作者: Ricestone (麥飯石) 2019-10-26 16:22:00

會跟ker(A)正交互補的是Im(A^T)

作者: gash55025502 (白影弓) 2019-10-26 16:22:00

ker(P)代表會投影在0向量不就等於是跟Im(P)正交了嗎

作者: gash55025502 (白影弓) 2019-10-26 16:26:00

哦哦所以投影矩陣跟正交投影矩陣不同我再去找找資料好了感謝

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