課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰101.11.16
考試時限（分鐘）：50
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
Part A (60%) (Linear Algebra)
一、18% Find the determinants of the matrices as followings.
┌1┐
│3│
(1) A=│5│[2 1 3 8 4]
│7│
└9┘
┌4 4 4 4┐
(2) B=│1 2 0 1│
│2 0 1 2│
└1 1 0 2┘
(3) C=┌3 0 0 0 2┐
│9 1 2 0 7│
│5 4 1 3 0│
│8 3 0 0 5│
└4 0 0 0 7┘
二、10%
(1)5% For any invertible matrix A,
the (1,1) entry of A^-1 is equal to the ratio ____.
(2)5% ┌4 4 4 4┐
Let B =│1 2 0 1│, find the (1,1) entry of A^-1.
│2 0 1 2│
└1 1 0 2┘
三、6%
Find the area of the Pentagon (五邊形) formed by the corner points
(-3,-6),(-1,3),(-1,7),(5,5),(5,9)
四、16%
設A、B為兩N階方陣，請證明下列命題
(1)8% ∣AB│=│A││B│
(2)8% │A│=│A^T│
五、10%
3
設v1、v2、v3為R 空間中的三向量，分別為 v1=(a1,b1,c1), v2=(a2,b2,c2),
v3=(a3,b3,c3)。定義兩運算(外積*)與(內積●)如下:
v1*v2=(│b1 c1│,│c1 a1│,│a1 b1│)
│b2 c2│ │c2 a2│,│a2 b2│
v1●v2=a1b1+a2b2+a3b3
請證明v1、v2、v3所張之平行六面體體積等於:abc((v1*v2)●v3)
Part B (70%) (Probability Theory)
六、10%
今有一隨機變數X之機率密度函數定義如下所示，其中已知μ為一常數。
f(x)=0.5e^-│x-μ│, x∈R
(1)5% 請檢驗此函數可以成為一合理定義的機率密度函數
(2)3% 請畫出μ=1的機率密度函數圖形。
(3)2% 此分配名稱是紀念哪位數學家？
七、10%
(1)5% 請默寫出標準常態分配的函數形式。
(2)5% 今定義標準常態分配其所對應的以下累加機率分配為Φ(x)，即
x
Φ(x)=∫ f(t)dt
-∞
請證明Φ(-x)=1-Φ(x)
八、25%
請利用變數變換法或CDF法，求出下面所列出的新隨機變數的機率函數。
(1)5% 設X~U(0.1)，令Y=lnX，請求出Y的機率密度函數。
(U(0.1)為均勻分配，其機率密度函數為f(x)=1)
(2)10% 設X~N(μ,σ^2)，令Y=e^X，請求Y的機率密度函數。
(3)10% 設X~N(0,1)，令Y=X^2，請求出Y的機率密度函數。
九、25%
我們定義下面這個瑕積分的值稱之為伽瑪函數。
∞
γ(α)=∫ x^(α-1)e^(-x)dx
0
(1)15% 請證明γ(0.5)√π
(Hint:先作替代積分法、再作極座標變換、再作替代積分法。)
∞
(2)10% 請計算∫ x^(5)e^(-2x)dx (此小題可直接寫出答案，不必過程。)
0