課程名稱︰邏輯
課程性質︰通識A4
課程教師︰傅皓政
開課學院：
開課系所︰
考試日期（年月日）︰2017/11/06
考試時限（分鐘）：90
試題 :
一、請建構命題邏輯語言（提示：包括符號與形構規則兩個部分）。(10%)
　　(Construct a suitable language for propositional logic. Hint: two parts
　　involved, alphabets and formation rules)
二、請判斷下列陳述的真假，並且分別以Ｔ與Ｆ代表「真」與「假」。(10%)
　　(Please judge the following statements which are true or false. Notice,
　　please use the symbols "T" and "F" which stand for true and false
　　statements respectively.)
　　＿ 1. 結論是矛盾句的論證可能是有效論證。
　　＿ 2. 前提出現矛盾句的論證一定是有效論證。
　　＿ 3. 前提與結論一致的論證可能是有效論證。
　　＿ 4. 前提實際上為假而且結論實際上為真的論證一定是有效論證。
　　＿ 5. 前提不可能全部為真的論證可能是無效論證。
　　＿ 6. 有效論證中至少必須有一個前提實際上為真。
　　＿ 7. 前提實際上為真而且結論實際上為假的論證可能是有效論證。
　　＿ 8. 前提與結論都是偶真句的論證可能是有效論證。
　　＿ 9. 前提與結論不一致的論證一定是有效論證。
　　＿ 10. 前提與結論實際上為假的論證一定是無效論證。
三、請判斷下列句式哪些是恆真句、矛盾句或者是偶真句。你可以使用任何學過的方法，
　　包括真值表法、簡易真值表法或真值樹法，必須列出演算過程。(15%)
　　(Using some method (e.g. truth table, short-cut or tableaux system) shows
　　that each of the following formulae is tautology, contradiction, or
　　indeterminate formula. Computational process is required.)
　　(a) D → ((C Λ D) → D)
　　(b) ┐(H → G) Λ ┐(G → H)
　　(c) (K → (L → M)) → ((K → L) Λ (K → M))
四、請判斷下列各題中的兩個句式之間是蘊涵或是等值關係。如果是蘊涵關係，以φ╞ψ
　　表示；若為等值關係，則以╞φ←→ψ表示，必須列出演算過程。(15%)
　　(Using some methods determine the semantic relation between the following
　　formulae. If the entailment relation holds then show them of the form
　　φ╞ψ. On the other hand, show them of the form ╞φ←→ψ if they are
　　equivalent. Computational process is required.)
　　(a) M Ｖ (N → N) ; M Ｖ N
　　(b) (P Λ Q) Ｖ (Q Λ R) ; (┐P Λ ┐Q) Ｖ (┐Q Λ ┐R)
　　(c) ┐(┐A Λ ┐B) ; ┐B → A
五、請寫出等值於真值表中語句φ的ＤＮＦ及ＣＮＦ。(10%)
　　(Find out the DNF and CNF each which is equivalent to the following
　　formulae φ.)
　　(a)　　　　　　　　　　　　(b)
　　┌─┬─┬─┬─┐　　　　　┌─┬─┬─┬─┐
　　│Ｌ│Ｍ│Ｎ│φ│　　　　　│Ｇ│Ｈ│Ｋ│φ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｔ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｔ│Ｔ│Ｔ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｔ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｔ│Ｔ│Ｆ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｔ│Ｆ│Ｔ│Ｆ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｔ│Ｆ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｔ│Ｆ│Ｆ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｔ│Ｔ│Ｆ│　　　　　│Ｆ│Ｔ│Ｔ│Ｆ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｔ│Ｆ│Ｔ│　　　　　│Ｆ│Ｔ│Ｆ│Ｆ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│　　　　　│Ｆ│Ｆ│Ｔ│Ｔ│
　　├─┼─┼─┼─┤　　　　　├─┼─┼─┼─┤
　　│Ｆ│Ｆ│Ｆ│Ｆ│　　　　　│Ｆ│Ｆ│Ｆ│Ｔ│
　　└─┴─┴─┴─┘　　　　　└─┴─┴─┴─┘
六、請以真值樹法證明下列語法序列是否為有效論證，若為無效論證請顯示其反例結構。
　　(20%)
　　(Please use tableaux system to prove whether each of the following
　　argument is valid. And specify a counterexample if it is invalid.)
　　(a) (Q Ｖ ┐P) → ┐R ; (P Λ Q) → R ├ (Q Λ R) → ┐P
　　(b) K → L ; K Ｖ (L ←→ K) ├ ┐K
七、請完成下列演算，作答時須連同題目寫在答案卷上。（10%)
　　(Please complete the following proofs. Notice: you should copy the whole
　　questions on your answer sheet.)
　　(a) 證明　├ ┐A → (A → B)
　　　(1) (┐B → ┐A) → (A → B) _______________
　　　(2) ((┐B → ┐A) → (A → B)) →
　　　 (┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B))) _______________
　　　(3) ┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B)) _______________
　　　(4) (┐A → ((┐B → ┐A) → (A → B))) →
　　　 ((┐A → (┐B → ┐A)) → (┐A → (A → B))) _______________
　　　(5) (┐A → (┐B → ┐A)) → (┐A → (A → B)) _______________
　　　(6) ┐A → (┐B → ┐A) _______________
　　　(7) ┐A → (A → B) _______________
　　(b) 證明　┐┐K ├ K
　　　(1) ┐┐K _______________
　　　(2) ┐┐K → (┐┐┐┐K → ┐┐K) _______________
　　　(3) ┐┐┐┐K → ┐┐K _______________
　　　(4) (┐┐┐┐K → ┐┐K) → (┐K → ┐┐┐K) _______________
　　　(5) ┐K → ┐┐┐K _______________
　　　(6) (┐K → ┐┐┐K) → (┐┐K → K) _______________
　　　(7) ┐┐K → K _______________
　　　(8) K _______________
八、古典邏輯的語意學有三個預設，其中的真值函映原則設定古典邏輯的運算符號都必須
　　是真值函映的運算符號，然而實際上有很多運算符號是非真值函映的運算符號，請舉
　　一個實例說明非真值函映的運算符號。(10%)
　　(There are three important postulates of the semantics of the classic
　　logic, one of them is the so-called the principle of truth-functionality.
　　Nonetheless we have many non-truth functional operators in our ordinary
　　language. Please take an non-truth functional operator to illustrate.)
Appendix: Rules of inference
命題邏輯公理系統(propositional logic axiomatic system)
公理(axioms)：
(A1) φ → (ψ → φ)
(A2) (φ → (ψ → θ)) → ((φ → ψ) → (φ → θ))
(A3) (┐φ → ┐ψ) → (ψ → φ)
推論規則(rule of inference)：
(MP) 從 φ 和(φ → ψ)成立，可以推論出 ψ 成立。