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作者: jackliao1990 (j) 看板: Gossiping
標題: [爆卦] 黎曼猜想重大進展
時間: Wed Jun 5 19:50:43 2024
https://arxiv.org/pdf/2405.20552
2022年菲爾茲獎得主James Maynard和麻省理工的Larry Guth取得了黎曼猜想的重要進展
-證明狄利克雷多項式取大值的頻率的新界限。
狄利克雷級數的大值問題在解析數論中有廣泛而重要的應用。 黎曼ζ函數就可以用迪利克
雷級數表示，其非平凡零點的分佈與ζ（s）在臨界線附近的大值密切相關。
令N（σ，T）表示實部至少為σ、虛部至多為T的黎曼ζ函數的零點數量。黎曼猜想下對於
任意σ>1/2，N（σ，T）都是0。
黎曼猜想的其中一個證明思路是證明零點密度估計，也就是對N（σ，T）給出一個非平凡
上界。這裡σ=3/4是一個關鍵值。
1940年英厄姆得到了一個極限：N（σ，T）小於等於T^(0.6+o(1))，此後八十年，數學家
一直無法推進這個極限，這限制了數學家們對解析數論的探索，受限於英厄姆界，為了在
（x，x+x^θ）形式的幾乎所有短區間內得到一個好的素數定理，長期以來數學家只能處理
θ>1/6的情況。
而Maynard和Guth將0.6提升到0.52。 這樣θ的範圍就可以從θ>1/6=0.167提高到θ>2/15=
0.133（黎曼猜想下θ>0）。
論文的論證主要基於傅里葉分析。Maynard和Guth將一個關鍵的相位矩陣 n^（it）=
e^（itlogn） 提高到了6次方。他們沒有使用平穩相位方法來簡化傅里葉積分。他們根據
狄利克雷級數的大值點位置，將問題分為加性能量E（W）小、中、大三種情況，並通過參
數的變化來處理每種不同情況。這樣狄利克雷級數中隱含的相位函數 tlogn的精確形式變
得非常重要。這是一種出人意料的方式，利用了解析數論中出現的指數和的特殊性質，而
不同於人們在調和分析中可能遇到的更一般的指數和。
ζ函數的可視化動畫
https://amirhirsch.com/zeta/index.html
James Maynard小檔案:
菲爾茲獎、拉馬努金獎、柯爾獎、數學新視野獎得主。
26歲時提出比張益唐更好的孿生質數猜想結果-存在無窮多對間隙小於600的素數對。
2019年，他與Dimitris Koukoulopoulos）一同證明了80年未解的達芬-謝弗猜想。
2020年他和Thomas Bloom合作改進無平方差集界限。
Larry Guth小檔案:
麻省理工克勞德·香農數學教授。
宇宙暴脹提出者Alan Guth的兒子。
數學新視野獎、塞勒姆獎、克萊研究獎得主。
Nets Katz 一起找到了解決 Erdos 不同距離問題的方法。