課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰(Take Home) Due to 101.12.04
考試時限（分鐘）：X
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
一、40% (模型適合度問題)
已知平面上有n個相異點，且至少有兩個點的x座標不同。假設他們的座標分別為(xi,yi)，
i=1,2,....,n，其中n≧2。今假設兩模型如下：
拋物線模型 X1β1=Y
直線模型 X2β2=Y
┌1 x1 (x1)^2 ┐ ┌1 x1┐ ┌ y1 ┐
其中X1= │1 x2 (x2)^2 │ ， X2= │1 x2│ ， Y= │ y2 │
│... ... │ │....│ │....│
│... ... │ │....│ │....│
└1 xn (xn)^2 ┘ └1 xn┘ └ yn ┘
┌ a ┐ ┌d┐
以及β1= │ b │，β2= │ │
│ c │ └e┘
└ ┘
令H1是用X1所建構的投影矩陣，H2是用X2所建構的投影矩陣。假設我們使用最小平方法去
獲得兩模型各自的參數估計，請回答下列問題。
(1)8% 請證明直線模型的殘差總和以及拋物線模型的殘差總和必定皆為零。
(2)8% 請證明直線模型的殘差平方和減去拋物線模型的殘差平方和等於 Y^T(H2-H1)Y
(3)8% 請證明 H1H2=H2 以及 H2H1=H2。
(4)8% 請證明 (H1-H2)為一良好定義的投影矩陣。
(5)8% 請證明 Y^T(H1-H2)Y必定是≧0。
二、15% (管理學應用)
假設你是某間保險公司的精算師，公司要你做風險管控，而你根據公司過去的資料，發現
每年十二月的理賠案件金額，約服從指數分配，期望值為3(單位:萬元)，而理賠案件的次
數約服從Poisson分配，期望值為4。於是你寫成數學如下:設Xi為每件理賠金額，N為理
賠件數，其分別滿足 iid
Xi∣N =n ~ Exp(1/3)， N~Poi(4)
(1)5% 請計算十二月的理賠總金額之期望值 E(X1+X2+....+XN)=?
(2)10% 請計算十二月的理賠總金額之變異數 Var(X1+X2+...+XN)=?
三、15% (行為財務應用)
有一種新奇的拍賣方式，參加者每人將自己的出價金額寫在紙上，以記名的方式投入一黑
箱，在所有人皆放入自己的紙條後，最後再開箱唱名，由出價最高者得標，但是卻以次高
價付款，身為拍賣會顧問的你，想要了解得標者的付款金額的隨機現象，因此你作了以下
的數學假設:
設Xi為每人出價金額(單位:千萬)，Y為得標者付款金額，並假設每人出價金額彼此獨立
且來自於相同的均勻分配U(0)，今共有十人參與投標。
(1)5% 請問的標者的付款金額可用統計學上的哪個統計量做描述？
(2)5% 請求出Y的機率密度函數，並說明此為哪個著名的機率分配。
(3)5% 請求出Y的期望值。
四、15% (演算法應用)
呂育道教授曾在財務演算法的課程中介紹一種快速模擬出來自標準常態分配的隨機樣本
的方法，方式如下:
「先用電腦模擬12個來自均勻分配(0,1)的隨機值，緊接著將他們的和再扣掉6則你就會
得到一個很像是標準常態分配中所隨機抽取的一個數值。」
(1)5% 請解釋這種方法有何先天上的限制，也就是與常態分配不符合的地方？
(2)10% 請說明這種方法的理論想法是什麼?為什麼得出來的資料會接近標準常態分配的行為
五、15% (物理學應用)
假設某一氣體分子的速度可用三個獨立且服從常態分配的隨機變數所描述，即
iid
V=(X1,X2,X3) 其中 Xi ~ N(0,σ^2) , i=1,2,3
今有一學者想研究此分子的速度大小，於是他想要求出V的範數之機率密度函數，故他定義
Y=∥V∥=√(X1^2+X2^2+X3^2)
(1)3% 設 W~ χ^2 (即自由度為3的卡方分配) ，請求出一常數c值使得F (y)=P(W≦c)
(3) Y
(2)3% 根據上一小題的提示，請求出Y的機率密度函數。