課程名稱︰管理數學
課程性質︰必修
課程教師︰黃以達
開課學院：管理學院
開課系所︰財務金融學系
考試日期（年月日）︰101.09.21
考試時限（分鐘）：50
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
Part A (60%) (By TAs)
一、15%
Find the inverse of A by the Guass-Jordan method starting with the augmented
matrix [A│I], given ┌2 -1 0┐
A=│-1 2 -1│
└0 -1 2┘
二、15% (True or False)
Assume that A and B are 3*3 matrices, state whether the following are true or
false. (You do not need to give a reason.)
(a) If columns 1 and 3 of B are the same, so are columns 1 and 3 of AB.
(b) If columns 1 and 3 of A are the same, so are columns 1 and 3 of AB.
(c) If rows 1 and 3 of B are the sane, so are rows 1 and 3 of AB.
(d) If rows 1 and 3 of A are the same, so are rows 1 and 3 of AB.
三、20%
A=┌1 a┐, given abc≠0 and c-ab≠0 Express A^-1 in terms of 3 elementary
└b c┘
matrices. (The actual inverse is not required for full marks)
四、10% (True or False)
If A and B are n by n symmertic matrices, which of these matrices are certainly
symmetric? (You do not need to guve a reason.)
(a) A^5
(b) A^2-B^2
(c) (A+B)(A-B)
(d) (A-B)^2
Part B (70%)
五、10% 設A為一方陣，請證明下列命題：
(1)5% 若A的反矩陣存在，則 (A^-1)^T=(A^T)^-1
(2)5% 若A為對稱矩陣，且反矩陣存在，則A的反矩陣亦為對稱矩陣。
六、10% 設H=X(X^TX)^(-1)X^T，其中X為一個n*p的矩陣，且X^TX的反矩陣存在。令I為
n階單位矩陣，請證明：
(1)5% H^2=H
(2)5% (I-H)^2=I-H
七、25% ┌1 2 0 1┐
已知 A=│2 4 1 4│，請回答下列問題：
└3 6 3 9┘
(1)10% 請求出此矩陣的列已簡化梯形矩陣。
(2)5% 請問此矩陣有幾個有效的pivots。
(3)10% 對於所有可能的b向量，此四元一次聯立方程組Ax=b是否一定有解？
請說明你的理由。
八、10% 設A、B與C皆為三階方陣，已知：
→
┌3 4 5┐ ┌ v1┐ → →
A=│6 8 10│， C=│ →│，且 AB=C 其中 vi 為C矩陣的第i個向量，且vi不
└5 12 13┘ │ v2│
│ →│
└ v3┘
等於零向量，請回答下列問題：
→ →
(1)5% 請證明：v1一定與v2平行。
→ →
(2)5% 請舉一實例說明：v1有可能與v3平行。
┌ x ┐ ┌0┐
九、15% 設A為三階方陣，且已知此線性方程組： A│ y │=│1│ 其解的行為是有解並
└ z ┘ └0┘
且只有一解，請問根據這樣的資訊，你可以確定下列哪些敘述是正確的？若正確請說明
你的理由，若錯誤請舉一反例。
(1)7% 三個行向量不可能同時平行。
(2)8% 三個行向量不可能同時共面。