最近看到了些談 30-year rolling return 的文章
突然想到，最差的30年rolling return，到底有多差?
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考慮某投資，假設其年報酬率為獨立同分佈，且服從對數常態分佈。
(這裡假設了分佈的型態，但並不對μ跟σ做估計。)
問: 該投資未來三十年的累積報酬率，低於過去一百年間的 30-year rolling return
之最小值的機率有多少?
這個問題也許有解析解，但我數學不太好，就直接用蒙地卡羅法模擬看看。
我模擬的結果是大約 12%。
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這裡的前提，「獨立同分佈+對數常態分佈」是非常強的假設
這個模擬的結果，不見得能適用於現實
但「過去100年的 30-year rolling return」雖然看似足足有71組數字
對於從中得到的一些觀察
或許可以再思考看看要給予多少信心

哪一國市場？ACWI?不同國過往滾動30年都差異不小了

假設太多沒意義 未來逆全球化+ai能增加多少生產力都是太大的變數

其實逆全球化如果造成通膨年增率降不下去,反而更應該投資VT

12%怎麼看都不太對… 假設模型正確 下一個sample 低於70個已知sample中極值的機率有12%的意思？

有接觸過財務工程的投資朋友可能都聽過這個名詞『股市的漲跌幅，呈現對數常態分配』老弟好奇，為何不是『常態分佈』？

阿 對你是對的 可是這樣的話 超過最大值應該也是大概12%？ 如果分布這麼平 基本上是是說不要看後照鏡投資的意思

跟過去100年的極值比?意義不大吧 跟大蕭條比? 大戰時期比? 時空變化這麼大這個統計數字的參考價值是?

不好意思 看不懂沒給μ跟σ要如何做蒙地卡羅？

你分析一下就會發現這個問題的答案其實跟μ跟σ是多少無關。做蒙地卡羅時選任意μ跟任意大於0的σ都可以。比如選0跟1我們都知道，要準確估計μ跟σ是很困難的。這個問題的答案與μ跟σ無關其實是個不錯的特性。

但還是拿daily平均數與標準差丟回去log normal ，所以你的取樣區間很重要所以我才說你用哪個country 差很多理論上用acwi daily 會是比較合適的

這個問題的答案與μ跟σ無關，不必估計μ跟σ，沒有取樣區間的問題。你可以試試看用不同的μ跟σ帶進去跑蒙地卡羅，看看結果是不

不懂你意思 你是說連平均數與標準差都亂數丟進去？

是類似。

讓我猜一下我誤解的地方 我看了一樓留言以為你過去100年

Okay 懂你意思

是用歷史資料? 但其實你過去一百年和未來30年都是用蒙地卡羅亂數?

首先是μ。μ是固定值，可以從Min[]裡面提項到外面。提項後可以發現不等式兩端都是30個μ，可消掉，所以μ不影響答案。

嗯嗯 如果整個130年都是用一樣的μ跟σ產生 最後的結果確實跟這兩個值無關

剩下σ後，可以觀察到，不等式兩側同乘任意大於零的係數，不影響不等式。所以σ可以任意放大或縮小。

推；也許估計離精確很遠但光是有機會跳出經驗性臆斷的偏差就很有意思了幫補個縮放圖 https://imgur.com/a/ChAKFKhttps://imgur.com/a/ChAKFKp

其實我對這個實驗的個人結論是:100年的數據其實不太夠多

這個猜想用1000年也可，但就是log normal這個強假設容易模擬不到真實路徑例如外星人來之類的再大膽一點分佈也可亂數generate

@a4695200 因為一個大時段的報酬是由其包含的小時段的報酬連乘而來的；所以大時段的報酬的對數可以表示為小時段報酬的對數的相加；根據中央極限定理，相互獨立（「強」假設主要是這這個）小時段報酬的對數隨著時段拉長（加總的獨立的小時段增加），將近似常態

如果過去用1000年來跑 這個比例可能降到大約1%吧 比起100年來講應該會可靠很多 只是1000年可能整個時空都不一樣了所以股票這種東西 可能在你有足夠統計數據之前 他的特性就跑掉了 最後還是要賭一下

對log normal假設篇章有興趣可以看財工相關書籍布朗運動那邊開始好投資其實也就是盡可能精明的賭

@aldosterone 感謝熱心講解，那為何不直接使用『常態分佈』?

價格才是對屬常態吧 報酬率是常態分配而且絕對不會是同分配喔 例如今年大跌 明年標準差會增加今年跟明年獨立 但不會是同分配

因為如果用常態分佈，價格會有機率變成小於零，顯然不行

報酬率短時間是常態分佈 長時間就會變成對數常態了 一年的時間恐怕比較接近對數常態

股價會是對數常態，因為假設報酬率是常態分配

未來股價=現在價格*e^rt 取log以後rt掉下來報酬率常態的話 價格就是對數常態 我只記得這樣 其他更複雜的忘光了