事實經過：
公司去年七月中旬請了一名送貨司機
約定他必須從公司的冷凍庫搬運貨物至車上，再開車送至客戶的倉庫裡。
該名司機時常遲到，或是與客戶約定送貨時間後，又常常無故遲到，惹得客戶很多不滿。
上個月時，他遲到的情形比較嚴重，我多次口頭警告過他，再遲到就不要來上班。
結果這個月他還是老是遲到，無法在與客戶約定的時間內送貨，讓客戶多等很久。
因為有些客戶只能在固定時間內收貨，超過約定時間就沒空收貨，所以後來有幾次我就乾
脆自己先去幫他把貨疊好，甚至幫他送貨幾次
我於6月末，他再一次遲到時，解雇他了
結果他傳LINE跟我說，他去勞工局問過，叫我付他這段預告期間的薪資
(以下是該條文)
雇主依第十一條或第十三條但書規定終止勞動契約者，其預告期間依左列
各款之規定：
一、繼續工作三個月以上一年未滿者，於十日前預告之。
二、繼續工作一年以上三年未滿者，於二十日前預告之。
三、繼續工作三年以上者，於三十日前預告之。
勞工於接到前項預告後，為另謀工作得於工作時間請假外出。其請假時數
，每星期不得超過二日之工作時間，請假期間之工資照給。
雇主未依第一項規定期間預告而終止契約者，應給付預告期間之工資。
問題：
1.我真的必須付這筆費用嗎?
2.他這樣算不算是"違反勞動契約或工作規則，情節重大者。"
或是"無正當理由繼續曠工三日，或一個月內曠工達六日者"?
3.他於就職期間，曾經開車發生車禍，把車燈，保險桿…撞壞了，
公司當時沒有向他請求賠償，現在可否向他請求賠償?